Az eddigi feladatokhoz számos érdekes megjegyzést, néhány csatlakozó kérdést küldtetek. Most ebből küldünk nektek egy válogatást. Ha van kedvetek, akkor olvassátok el, gondolkozzatok a kérdéseken. Bátorítunk titeket, hogy írjatok megjegyzéseket kommentben is, biztosan szívesen olvassák a többiek is.
Most kivételesen küldünk egy harmadik, kicsit rendhagyó feladatot is.
Szomszédvári emlékmű
Szomszédvár megújult főterére modern köztéri szobor felállítását tervezik. Az alkotás tíz különálló oszlopból áll, melyek magassága méterben mérve:
A tervező elképzelése szerint az oszlopok sorban egymás mellett állnak majd úgy, hogy a két szélsőt kivéve minden oszlop magassága pontosan megegyezik a két közvetlen szomszédja magasságának összegével vagy különbségével. A tervek szerint emléktábla is hirdeti majd a nemes gondolatot:
„Ez az emlékmű jelképezi városunk közösségét, ahol mindenki bátran támaszkodhat a szomszédaira.”
Nézzünk egy példát: négy oszlopból megfelelő elrendezés lenne az alábbi, mert a szélsőkön kívül mindegyik oszlop magassága egyenlő a szomszédai magasságának különbségével. (Lehetnének vegyesen is különbségek és összegek!)
Milyen sorrendben állhatnak majd Szomszédvár oszlopai? Találsz legalább egy megfelelő sorrendet? Esetleg megtalálod az összes lehetséges sorrendet?
Érdekes lehet azon is elgondolkodni, hogy vajon álmodozhat-e a tervező tíznél több oszlopból álló emlékműről is, melyben az előzőeknek megfelelően pl. 1, 1, 2, 2, 3, 3, … 6, 6-méteres oszlopok szerepelnek.
Van egy 2 × 7-es terem, melynek 1 × 1-es mezőire átlós irányban tükröket lehet elhelyezni. A terem oldalaival párhuzamosan érkező fényt a tükrök mindkét oldala derékszögben töri meg. Ha a fény eléri a terem falát, ott elhagyja a termet. Azt szeretnénk, hogy az alsó sor hatodik mezőjébe alulról érkező fény a felső sor első mezőjén távozzon vízszintes irányban. Tegyünk le tükröket a mezőkre úgy, hogy ez megvalósuljon! Legfeljebb hány tükrön törhet meg a fény (legalább egyszer)?
Mutatunk egy példát arra, amikor csupán egyetlen tükör felhasználásával oldjuk meg a feladatot.
Vajon mi a helyzet akkor, ha 3 × 7-es a terem? Ekkor hány tükröt lehet használni maximum? Online is kipróbálhatjátok.
A matekfeladatok közös sajátossága, hogy lényegében mindig elképzelt, ideális világban játszódnak, ahol egzaktak a feltételek, pontos válaszokat tudunk adni a felmerülő kérdésekre. Most kísérletképpen a valóságról fogunk kérdezni, ennek azonban ára van. Bár a kérdésünkre ismerjük a választ, de azt nem tudjuk, hogy miért van ez így. Még igazán meggyőző modellünk sincs, reméljük, hogy a kedves Olvasóink segítségünkre lesznek majd.
A női Grand Slam tornákon egy teniszmeccs addig tart, amíg valamelyik játékos két szettet nyer. Tehát egy meccs két (2:0) vagy három (2:1) szett alatt dőlhet el. Kíváncsiak voltunk arra, hogy a meccsek mekkora része dől el kettő, illetve három szett alatt. Készítettünk is egy statisztikát, ezek szerint az 1968 és 2024 között a főtáblán játszott mérkőzések 70,59%-a dőlt el két szettben.
A férfiaknál három nyert szettig tart egy mérkőzés. Tippeld meg, hogy ott mekkora a 3, 4, illetve 5 szett alatt végződő meccsek aránya!
Két testvér egy 6×6 kis négyzetből álló (összesen 36 kockás) tábla csokin osztozkodik. Megegyeznek, hogy úgy vágják szét, hogy mindketten egy-egy egybefüggő kis négyzetekből álló darabot kapjanak.
Trükkösen kettévágják a táblát, majd a nagyobb testvér boldogan felmutatja a saját részét és diadalittasan felkiált: „Nézd, az enyém sokkal nagyobb! Ha körbeméred, a részem kerülete pontosan a kétszerese a tiédnek!”
A fiatalabb testvér egy pillanatig szomorúan nézi a kezében maradt, tömzsibb darabot, majd elmosolyodik: „Lehet, hogy a tiednek hosszabb a széle, de valójában én kaptam a több csokit!”
Elképzelhető, hogy mindketten igazat mondanak?
Megoldás
Induljunk ki abból, hogy a fiatalabb legalább 19 kocka csokit kapott. A csoki belső 4×4-es négyzete 16 egységből áll, emiatt legalább 3 kocka csokit kell kapnia a széléről.
Ha a fiatalabb 3 egységet kap a kerületből, akkor a másiknak 21 egység kerület jut az eredeti 6×6-os 24 egység hosszú kerületéből. A másik feltétel alapján szeretnénk, hogy az idősebb testvér kétszeres kerületet kapjon. A kerület két részből áll, a külső kerületből és a belső vágásvonalból, legyen ez k egység hosszú. A belső vágásvonal mindkét testvér kerületéhez tartozik teljes terjedelmében, emiatt az alábbi egyenletet tudjuk felírni: 21+k=2(3+k).
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a közös vágásvonal 15 hosszú. A fiatalabb testvér három szélső kockája egymás mellett lehet, ami miatt egyféle felosztás lehetséges és ez pontosan teljesíti 15 hosszú közös vágásvonalat. A szóban forgó konstrukció így néz ki:
Ha a fiatalabb az eredeti 6×6-os csokoládé kerületéből 4 egységet kap, akkor a másiknak 20 jut onnan. Ebben az esetben a belső vágásvonal 12, vagyis a fiatalabb kerülete 16, amivel lehetetlen legalább 19 területű csokit kapni. (Érdemes kipróbálni, hogy egy 16 hosszú vonal maximum mekkora területet keríthet be!)
Természetesen, ha nagyobb részt kapna a kisebb a külső kerületen, akkor még kisebb kerülettel kéne körbe kerítenie 19 területet, ami hasonlóan lehetetlen.
(Osztényi József)
Robotok a raktárban
Egy raktárt automatizáltak, minden csomagot robotok szállítanak a polcok rekeszeibe. Minden rekesz pontosan ugyanakkora, de mi nem ismerjük a pontos méretet. Annyit tudunk, hogy a szabványok szerint egy rekesz szélessége 40, 50, 60, 70 vagy 80 cm, a magassága pedig 30, 40 vagy 50 cm lehet (a mélységét ismerjük, azt nem kell meghatároznunk).
Mi dobozokat adhatunk a robotoknak, a doboz szélességét és magasságát tetszőlegesen beállíthatjuk. Ha a doboz elfér egy üres rekeszben, akkor odateszik, ha nem fér bele, akkor visszahozzák (a robotok a dobozokat nem forgatják el). Az a cél, hogy minél kevesebb próbálkozásból megállapítsuk a rekeszek pontos méretét. Online is kipróbálhatjátok.
Ha a doboz mérete pontosan megegyezik a rekeszével, akkor a doboz belefér a rekeszbe.
Megoldás
A próbálkozásaink során azt tapasztalhatjuk, hogy ha egy doboz belefér egy rekeszbe, akkor minden olyan rekeszbe belefér, ami legalább ilyen széles és magas. A következő animáció egy konkrét esetben szemlélteti is, egy 58×36-os dobozt szeretnénk elhelyezni a rekeszekben:
Helyezzük el a rekeszeket az animáción látható módon:
Bármekkora dobozt is mérünk, azon rekeszek, amelyekbe belefér a doboz, mindig egy téglalapot alkotnak a bal felső sarokban. Ha visszagondolunk az idei első feladatra vagy a tavalyi medencés feladatra, akkor észrevehetjük, hogy azok is éppen így működtek. Hiszen a medencés feladatokban egy medence megvizsgálása után azt tudjuk meg, hogy a forrás a vizsgált medencétől balra és felfelé lévő részben van-e.
Tehát mindkét feladatban ugyanolyan típusú kérdéseket tehetünk fel, sőt, ha jobban megnézzük, akkor a tavalyi feladatban a pálya is megegyezik a mostanival. Így a megoldáshoz nincs más teendőnk, mint a tavalyi stratégia alkalmazása.
Kezdjünk először egy 50×40-es dobozzal, ezzel a lehetséges rekeszeket 8:7 arányban osztjuk fel. A választól függően folytassuk az 50×50-es vagy a 50×30-as dobozzal.
Bármilyen választ is kapunk ebben a két körben, mind a négy lehetséges esetben a megvizsgálandó rekeszek 3 vagy 4 hosszú láncot alkotnak. Egy ilyen lánc esetén két doboz kipróbálásával biztosan meg tudjuk állapítani a rekesz méretét, ennek a meggondolását az Olvasóra bízzuk.
A feladatban számunkra lényeges az az elem, hogy egymástól látszólag távol álló dolgok között találtunk kapcsolatot. Egy ilyen kapcsolat megtalálása mindig izgalmas, a jelen esetben is érdemes alaposan átgondolni a két feladat közötti viszonyt, például: Mit kell kikötnünk a medencék elhelyezkedéséről, hogy átfordítható legyen a raktáros feladatra? Ha a dobozoknak a mélysége is számítana, az hogyan hangozna a medencés nyelvén?
