Köszönjük a sok megoldást, szívesen olvassuk a válaszokhoz fűzött megjegyzéseiteket is, például ilyet: „Otthon apukám sokszor tesz a dátumokra ilyen megjegyzéseket, és akkor is megkérdezi, hogy mikor lesz legközelebb ilyen, így azon együtt gondolkodunk, ez a feladat felidézte ezeket a szép emlékeket.” Egyébként ez a feladat is hasonló körülmények között született, egy matektáborban rácsodálkoztunk egy mindössze háromféle számjegyből álló dátumra, majd egy barátunk tette fel ezt a kérdést.
A tavalyi évhez képest változás, hogy most jelölni fogjuk, hogy melyikünk melyik feladatot írta le, ha bármilyen kérdésetek van a feladatokkal kapcsolatban, bátran írjatok, kommenteljetek.
Hat pálcika
Vegyél elő hat egyforma méretű pálcikát! (Fogpiszkálót, gyufát, evőpálcikát …) Helyezd el őket úgy, hogy legalább négy, egymással megegyező méretű szabályos háromszög keletkezzen! (Szabályos háromszög: mindhárom oldala egyenlő.)
A pálcikák elhelyezésére semmilyen megkötést nem teszünk. Az sem baj, ha a háromszögeken kívül más alakzatok is keletkeznek az ábrán.
Ne állj meg az elsőnél, keress minél többféle konstrukciót! Nézzük meg együtt, hányfélét találunk 😊
Leila egy 4×4-es táblázat mezőit tölti ki számokkal a következő módon: tetszőlegesen választ egy üres mezőt és beírja oda a legkisebb pozitív egész számot, ami még nem szerepel sem az adott mező sorában, sem az oszlopában. Melyik a legnagyobb szám, amely bekerülhet így a táblázatba?
1987. 06. 25. volt a legutóbbi olyan dátum, amely leírásához 8 különböző számjegyet kellett használni. Melyik évben lesz a legközelebbi ilyen dátum?
Megoldás
Próbálkozzunk, hátha még ebben az évszázadban lesz ilyen. Írjuk be azt, amit biztosnak gondolunk: 20__. __. __. alakú a dátum. Némi gondolkodás után rájöhetünk, hogy mivel 12 hónap van csak, a hónap első számjegyére nincs sokféle lehetőség: csak 0 vagy 1 lehet. Jelen esetben a 0 már szerepel az évszámban, ezért 1-essel kezdődő hónapról lehet csak szó, tehát 10., 11. vagy 12. Ám ezek egyike sem megfelelő, mert mindenképpen lenne két azonos számjegy a dátumban.
Ezért keressünk inkább a 2100-as években ilyen dátumot. A hónap első számjegye továbbra is csak 0 vagy 1 lehet, az 1 már foglalt, tehát biztosan 0. Eddig így néz ki a dátumunk: 21__. 0_. __. A nap első számjegye ugyan többféle lehet, de arra sincs sok lehetőség: 0, 1, 2 vagy 3 lehet. Kizárásos alapon itt már csak a 3 jöhet szóba, de sem 30 sem 31 nem lehet, hiszen a 0 és az 1 is szerepel már, tehát ebben az évszázadban sincs ilyen dátum.
Mivel a 2200-as években nem lelhetünk megfelelő dátumot, keressünk a 2300-as években. Mivel a 2-est és a 3-ast is felhasználtuk már, a hónap és nap első számjegye is csak 0 vagy 1 lehet. Akkor lesz korábbi a dátumunk, ha a hónap az, amelyik a 0-val kezdődik, tehát eddig 23__. 0_. 1_.-nél tartunk. Ezzel a négy legkisebb számjegyet már felhasználtuk. A maradék számjegyekből a legközelebbi dátum megtalálásához a kisebbeket érdemes az évekhez írnunk, utána a hónaphoz és végül a naphoz a nagyobbakat, amivel a 2345. 06. 17. dátumhoz érkezünk, amelyben valóban 8 különböző számjegy szerepel.
A legutóbbi ilyen dátum még 40 éve sem volt, mi is meglepődtünk, hogy a legközelebbi milyen sokára, közel 320 év múlva lesz. Akinek van kedve, gondolja meg, hogy azt követően viszont egy ideig elég gyakori lesz ez az eset.
(Tassyné Berta Andrea)
Szennyezett medencék
A képen egy strand 36 medencéjének a térképe látható. A nyilak azt jelölik, hogy melyik medencéből merre folyik tovább a víz:
Tudjuk, hogy az egyik medence megrongálódott, ahonnan szennyeződés jut a vízbe. Van egy készülékünk, amely kijelzi, hogy egy medence vize szennyezett-e. A legrosszabb, szerencse nélküli esetet feltételezve legkevesebb hány méréssel lehet biztosan megtalálni a szennyeződés forrását?
8 méréssel meg tudjuk találni a szennyeződés forrását, ha az összes átlón lévő medencét megvizsgáljuk, hiszen ekkor a szennyezett medencék alapján egyértelműen azonosítható a forrás. Erre egy példát mutatunk a bal oldali ábrán.
Meglepő, de a 8 mérést még tudjuk csökkenteni, ha egy kicsit trükközünk a mérések sorrendjével. Vizsgáljuk meg először az X-szel jelölt medencét a jobb oldali ábrán.
Ha X szennyezett, akkor tudjuk, hogy a forrás a szürkével jelölt részen van. Ekkor 1 méréssel meghatározhatjuk az oszlopot az első kettő közül, majd az oszlopot felezgetve további 3 méréssel készen vagyunk.
Ha X tiszta, akkor mérjünk meg minden olyan medencét, amely az átlón van, és a szürke résztől jobbra található. Ha itt van szennyezett, akkor a forrást egyértelműen be tudjuk azonosítani. Például, ha az átlón sárgával jelölt medencék szennyezettek, akkor az S medence a szennyeződés forrása. Ha pedig mindegyik medence tiszta, akkor csak a bal alsó medence lehet szennyezett.
6 mérés biztosan nem elég, hiszen ha még előre meg is mondják nekünk, hogy a forrás az átlón van, akkor is 6 mérés után szerencse nélkül lesz még két lehetséges szennyezett medence. Szükségünk van legalább 7 mérésre.
Megjegyzés: A feladat kitűzésekor látszólag előzékenyen linkeltük a kérdés tavalyi változatát. Azonban ennek a feladatnak az ismerete most nem segít minket a megoldásban. Ha az ott működő, felezéses stratégiát próbáljuk alkalmazni, akkor nem jutunk el az optimális megoldáshoz.
Segítségek a mai feladatokhoz (a segítségeket erre a kommentre írom meg válaszul):