minden·ki·jön 2026 – 16. nap

Igazmondók a házban · Egyenes kieséses bajnokság

Véget ért a projekt, mindannyiunk nevében köszönjük a lelkesedéseteket és a sok, kedves levelet. Reméljük, hogy jól éreztétek magatokat, ha van kedvetek, akkor kérjük, hogy írjátok is meg, hogy ti hogyan éreztétek magatokat, ezt itt tudjátok megtenni.

Nemsokára elkészítjük az emléklapokat, reméljük, hogy a következő két hétben mindegyikőtök meg fogja kapni (ehhez a neveiteket mindenképpen adjátok meg itt).

Utoljára, de egyáltalán nem utolsó sorban szeretnénk megköszönni a munkánk támogatását. A még nem teljesen végleges összesítés szerint összesen 53-an támogattatok, ennek köszönhetően 2 144 000 forint gyűlt össze, ezt az összeget a Sonrisa megduplázza. Köszönjük!

Igazmondók a házban

Egy társasházban 10 lakó él, mindegyikük vagy megbízható vagy pletykás. A házban elszaporodtak a pletykák, ezért a közös képviselő mindenkit megkér, hogy nyilatkozzon a másik 9 ember mindegyikéről, hogy megbízható-e vagy pletykás. A megbízható lakók mindig igazat mondanak, míg a pletykás lakók mindig hazudnak. Az összes nyilatkozat során összesen 42-szer hangzott el, hogy „ő megbízható”. Hány pletykás lakója lehet a társasháznak?

Megoldás

Amikor egy lakó nyilatkozik a többiekről, akkor pontosan azokra fogja azt állítani, hogy „ő megbízható”, akik vele azonos tulajdonságúak. Aki megbízható, az a megbízhatóakra mondja ezt, míg a pletykások a többi pletykás személyről fogják ezt nyilatkozni. Ebből a megfigyelésből két lehetséges befejezést adunk a megoldáshoz.

1. megoldás: Jelöljük a megbízható lakók számát k-val, ekkor 10-k pletykás lakó lesz. Így a k megbízható ember mindegyike egymásról azt állítja, hogy ők megbízhatóak, ez összesen k·(k-1) „ő megbízható” válasz. Hasonlóan a pletykások is egymás közt mindenkit megbízhatónak fognak vallani, így ez mind a 10-k pletykás lakó esetén 10-k-1=9-k „ő megbízható” válasz.

Tehát összesen k·(k-1)+(10-k)·(9-k)-szor hangzik ez el, ennek kell 42-nek lennie. k értéke 0 és 10 között lehet és az összeg vizsgálatánál jól látható, hogy ez k=5-re lesz a legkisebb (ekkor 5·4+5·4=40-et kapunk) és innentől k-t növelve vagy csökkentve az összeg értéke nő. Akkor lesz az összeg értéke 42, amikor k=6 vagy k=4, hiszen mindkét esetben az összeg 6·5+4·3=30+12=42. Azaz a társasházban 4 vagy 6 megbízható lakó lakik és ennek megfelelően 6 vagy 4 pletykás lakó lehet.

2. megoldás: Úgy is célhoz érhetünk, hogy az „ő pletykás” mondatokat számoljuk meg. Összesen 10 ember nyilatkozik 9 másikról, így 90 választ kapunk. Mivel 42-en mondták, hogy „ő megbízható”, ezért 48-an válaszolták, hogy „ő pletykás”. A kezdeti megfigyelésünk alapján ez utóbbi akkor következik be, amikor valaki ellentétes tulajdonságú személyről nyilatkozik. Így ha k megbízható és 10-k pletykás lakó van, akkor összesen k·(10-k)+(10-k)·k=2·k·(10-k)-szor hangzik el, hogy „ő pletykás”, hiszen a megbízhatóak minden pletykásra, a pletykások minden megbízhatóra mondják ezt.

Tehát 2·k·(10-k)=48, azaz k·(10-k)=24. A 24-et szorzattá bontani kétféleképpen lehet úgy, hogy a szorzók összege 10 legyen: 4·6=24 vagy 6·4=24. Tehát a társasházban 4 vagy 6 megbízható lakó lakik, és ennek megfelelően 6 vagy 4 pletykás lakó lehet.

(Móricz Benjamin)

Egyenes kieséses bajnokság

Egy teniszversenyen a világranglista első 16 helyezettje játszik, a versenyt egyenes kieséses rendszerben rendezik. Az első fordulóban összepárosítják a 16 teniszezőt, és a győztesek az 1-8., a vesztesek a 9-16. helyekért játszanak tovább, majd hasonló módon folytatva, négy forduló után kialakul a teljes sorrend.

(A sorsolások véletlenszerűen, kiemelés nélkül történnek. Továbbá feltételezzük, hogy minden meccset a világranglistán előrébb álló játékos nyeri.)

Hány százalék az esélye annak, hogy a 9. helyen végző teniszező előrébb van a ranglistán, mint a 8. helyezett?

Megoldás

Tudjuk, hogy a 8. helyezett játékos az első forduló nyertesei között a leggyengébb, míg a 9. helyezett az első forduló vesztesei között a legerősebb játékos lesz.

Mikor lesz a legjobb vesztes erősebb a legrosszabb nyertesnél?

Talán könnyebb a fordítottját meggondolni, vagyis mikor lesz a legjobb vesztes gyengébb a legrosszabb nyertesnél. Csak akkor lesz jobb, ha minden párban egy teniszező van az első nyolcból és egy a második nyolcból. Számítsuk ki ennek a valószínűségét.

A sorsolást nézzük a következőképpen: jelölje a 8 erősebb játékost 8 kék, a 8 gyengébb játékost 8 piros golyó. Sorsoljuk ki sorban a párokat. Azt keressük, hogy mekkora az esélye annak, hogy 8 kék-piros golyópárt húzunk ki.

Ha elsőként kihúzunk egy golyót, akkor a következő golyónak ellentétes színűnek kell lenni. Mivel a maradék 15 golyóból 8 lesz ellentétes színű, így erre 8/15 az esély. Ha sikerült ellentétes színű golyót kihúzni, akkor utána 7 kék és 7 piros golyóval folytatjuk a húzást. Ekkor a következő párnál 7/13 lesz az esélye, hogy ellentétes színű golyópárt húzunk ki. Hasonló gondolattal továbbhaladva a további pároknál 6/11, 5/9, 4/7, 3/5, 2/3 és 1/1 lesz az esélye, hogy különböző színű párokat húzunk. Vagyis a keresett valószínűség ezeknek a számoknak a szorzata, azaz 40320/2027025 = 1,989%. Így kerekítve 98% annak az esélye, hogy a 9. helyezett lesz a jobb teniszező.

Érdekesség

16 főnél nem csak a 8. és 9. helyezett közt fordulhat elő az, hogy a hátrébb végzett teniszező az erősebb. Készítettünk egy táblázatot, hogy egy ilyen versenyen hány százalék annak az esélye, hogy a végén egy adott helyen végzett teniszező legyőzne egy másik helyen végzettet.

A feladatban nem számított, de a többi helyezéspár esetén befolyásoló tényező lehet az, hogy a további fordulókat milyen módon sorsolják ki. Ennél a táblázatnál a szokásos ágrajzzal számoltunk, azaz ha egy fordulóban az A és B meccs nyertesei játszanak egymás ellen, akkor az A és B meccs vesztesei szintén egymás ellen játszanak.

A táblázatból jól látszik, hogy egy ilyen verseny végén a kapott helyezés nem biztos, hogy jól mutatja az erősségeket, sok esetben végez előrébb a valóságban gyengébb versenyző. De vajon akkor mi lenne az igazságos sorrend a verseny végén? Erre nehéz jó választ adni, de érdekes módon készíthető a helyezésekből olyan sorrend, hogy a sorban minden játékos legalább 50% eséllyel megverje az utána következő játékosokat. Ehhez a sorrendnek a következőnek kell lennie: 1., 2., 3., 5., 9., 4., 6., 7., 10., 11., 13., 8., 12., 14., 15., 16.

A feladat ötletének története: Egy bridzsversenyen a csoportkörből 32 csapat jutott tovább. Ezután egy (vigaszágas) kieséses rendszerben zajlott tovább a küzdelem úgy, hogy a kiesett csapatok is játszottak helyosztó mérkőzéseket. A verseny végén minden csapat kapott mesterpontot az elért helyezés alapján. Elsőre meglepő volt számomra az, hogy a 17. helyezés több pontot ért, mint a 16., de a fenti példát végiggondolva már jogosnak tűnt a pontosztás, és ennek kapcsán született meg ez a feladat.

(Nagy Kartal)