Meglepően népszerű volt a törtes feladat, örülünk, hogy sok szép konstrukciót kaptunk. Többen tettetek fel kapcsolódó kérdéseket, a megoldás után mi is kitérünk egyre és vázlatosan megvizsgáljuk a kérdést 16 helyett más számokkal is. Ha van kedvetek, akkor a megoldás elolvasása előtt gondolkozzatok rajta.
Libikókázás
A tavalyi böngésző nézegetés után most már kimerészkedtünk a játszótérre is, született is egy feladat a libikókázásról.
Hat gyerek egyesével ül rá egy libikókára, és azt tapasztalják, hogy a libikóka minden ráülésnél átbillen. Tudjuk, hogy a gyerekek testsúlyai 4, 5, 9, 10, 11 és 20 kg. Keressük meg azt a sorrendet, ahol a végén a lehető legkisebb a súlykülönbség a libikóka két felén ülő gyerekek között.
(A forgatónyomatékot elhanyagoljuk, tehát a libikóka pontosan akkor billen át, ha az egyik oldalon lévő gyerekek tömege nagyobb, mint a másikon. Egyenlőség esetén nem billen át a libikóka.)
Az ábrán egy iroda alaprajza látható. A pontok oszlopokat jelölnek, melyek segítségével 25 egyforma négyzet alakú szobára lehet felosztani az irodát. Minden ilyen szobában egy ember dolgozik. Az irodában pár szomszédos szoba közé falakat húztak a szaggatott vonalak mentén. Egy szobában ülő dolgozó pontosan azokat a munkatársait látja, akik az ábrán vele egy sorban vagy oszlopban vannak, és nincs köztük fal. A középső szoba kivételével ráírtuk a szobákra, hogy az ott ülő ember hány munkatársát látja. Ezenkívül azt is tudjuk, hogy az irodában bármelyik szobából bármelyik másik szobába át lehet sétálni. Hogyan helyezkednek el a falak az irodában?
Az alábbi ábrán egy példát láthatunk arra, hogy egy kisebb irodában ki hány másik szobába lát át:
Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy a Föld és a Mars az ellipszis alakú pályájuk során mennyire kerül közel és mennyire távolodik el a Naptól.
Ezeket az adatokat használva milyen alsó és felső becslést tudunk mondani a Föld és a Mars távolságára? (A feladat során a bolygókat pontszerűnek tekintjük.
Megoldás
Az alábbi elrendezésben a Föld és a Mars távolsága 55 millió km. A Föld a Naptól nem lehet távolabb 152 millió km-nél, a Mars pedig nem lehet közelebb 207 millió km-nél. Ezenkívül a Nap - Mars távolság nem lehet nagyobb, mint a Nap - Föld és a Föld - Mars távolság összesen, amiből látszik, hogy ennél kisebb távolság nem érhető el.
A maximális távolság esetén hasonló gondolattal megkaphatjuk, hogy mivel a Nap - Föld távolság legalább 147 millió km, a Nap - Mars távolság pedig legfeljebb 249 millió km, így a Föld - Mars távolság legfeljebb 102 millió km. Ez a gondolat azonban most nem lesz jó. Amennyiben eddig nem sikerült ennél nagyobb értéket találni, érdemes lehet egy kis szünetet tartani és átgondolni, hogy hogyan lehetne még növelni ezen a távolságon.
.
.
.
A megoldás kulcsa az elhelyezkedésben van, ugyanis három égitest nem csak ilyen sorrendben állhat egymáshoz képest. A lehető legnagyobb távolság úgy érhető el, ha a Mars a Föld túloldalán van, és mindkét bolygó a lehető legmesszebb van a Naptól. Ekkor a távolság 401 millió km is lehet.
A feladatot beugratós feladatnak szántuk, ezt az is segítette, hogy a feladatban 4 adatot adtunk meg, amiből a két becsléshez 2-2 adatot használunk fel, mégis volt olyan adat, amire nem volt szükségünk, és olyan is, amit kétszer használtunk.
(Nagy Kartal)
Törtek összege
Az 1, 2, 3, …, 16 számokból képezzünk 8 törtet úgy, hogy minden számot pontosan egyszer használunk (vagy számlálóként, vagy nevezőként). Lehet-e a kapott 8 tört összege egész szám?
Megoldás
El tudjuk érni, hogy a 8 tört összege egész legyen. Többféleképpen is megadható megfelelő 8 tört az 1, 2, 3, …, 16 számokból, a megoldás végén erre két jelentősen eltérő konstrukciót mutatunk. Természetesen sok másik helyes megoldás is létezik, tőletek is több különféle konstrukciót kaptunk.
Az a célunk, hogy a 8 tört összege egész legyen, ezért természetes ötlet, hogy elsőként a nagyobb prímeket tartalmazó számokból képezzünk törteket, méghozzá minél kisebb nevezővel, hiszen 11-edekkel és 13-adokkal nehezebb dolgoznunk, mint felekkel vagy harmadokkal. Ha a nagy prímet tartalmazó számok kis nevezőt kapnak, akkor sok tört értékét egészre tudjuk állítani, így az összeget is könnyebb lesz egészre kihozni.
A 8-nál nagyobb prímek a 11 és a 13, ezekből az egyiket párosítsuk az 1-es nevezővel, a másik számot pedig minél kisebb nevezővel építsük törtbe. Kezdésképp vehetjük például a 13/1, 11/2 törteket, ezután csupán a felekre kell majd figyelni. Szintén tartalmaz nagyobb prímeket a 14-es és a 15-ös szám is (a 7-et és az 5-öt), tehát ezeket célszerű összepárosítani a legnagyobb prímosztójukkal, hogy egész értékű törteket kapjunk. Vegyük tehát a 14/7 és a 15/5 törteket az eddigiek mellé. Az eddigi négy tört összege 13+5,5+2+3=23,5, azaz kell még egy nem egész értékű tört biztosan.
A hátralévő számaink a 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16. Észrevehetjük, hogy a sorban az első 4 számot nevezőbe írva és az utóbbi négy számot ilyen sorrendben a számlálókba írva 3 egész értékű törtet és a 10/4=2,5-et kapjuk, ami pont jó lesz nekünk, hiszen az eddigi összegünk 23,5 volt. Így ha vesszük az eddigiek mellé ezt a négy törtet, akkor egy helyes konstrukciót kapunk:
Ezen kívül sok más megoldás is létezik, ezek közül egy, az előzőtől jelentősen eltérő konstrukció:
Észrevehetjük, hogy itt a 11-et és a 13-at is nagyobb nevezőjű törtbe tettük, valamint míg az előbb a 8 kisebb szám szerepelt a nevezőkben, most a 10 és a 14 is oda került.
Kitekintés
Érdekes kérdés lehet a feladathoz kapcsolódóan, hogy ha nem 1-16-ig vesszük a pozitív egészeket, hanem 1-től egy nagyobb páros számig (1-2k-ig), akkor megvalósítható-e, hogy a k darab tört összege egész legyen.
Általában is igaz, hogy tetszőleges páros számra (mint 16-ra is), a pozitív egészek 1-2k-ig beoszthatók k darab törtbe úgy, hogy az összegük egész legyen. Ehhez a következő a főbb gondolat: ha már egy 4-gyel osztható számra találtunk megfelelő törtekbe rendezést, akkor a nála 4-gyel nagyobb számra ebből az összegből indulunk ki és próbálunk két új törtet hozzátenni. Ezután pedig a 4k+2 alakú páros számokra a náluk kisebb 4-gyel osztható számból, 4k-ból készítünk konstrukciót. Az első 2 és 4 számra könnyen találunk megoldást: 2/1=1 és 3/1+4/2=5. Innentől kezdve elkészítjük egy algoritmussal a következő 4-gyel osztható számra a konstrukciót.
Ezt precízen nem indokoljuk, csupán a lépéseket és az érdekességeit vázoljuk. Induljunk el a 3/1+4/2=5 konstrukcióból és mindig lépjünk a 4-gyel nagyobb számra. Mindig amikor valamilyen 4·(k-1) számról a következő 4-gyel osztható számra, 4·k-ra lépünk, akkor 4 új felhasználandó számunk lesz: 4k-3, 4k-2, 4k-1 és 4k. Ezeket rendezzük be a következő törtekbe: (4k)/(4k-2) és (4k-3)/(2k-1). Az ilyen alakú törtek összege pont 3 lesz, hiszen (4k)/(4k-2) + (4k-3)/(2k-1) = (2k)/(2k-1) + (4k-3)/(2k-1) = (6k-3)/(2k-1) = 3. Igen ám, de a 4 új számunk közül most a 4k-1-et nem használtuk fel, helyette a 2k-1-et írtuk a nevezőbe, ami így kétszer szerepel, hiszen a korábbi 4-gyel osztható számnál is használtuk ezt. Úgy oldjuk ezt a problémát meg, hogy a korábbi 2k-1-et átírjuk 4k-1-re, akárhol is szerepelt. Ez a lépés persze könnyen elronthatná az összegünket, de ha a 3/1+4/2=5 konstrukcióból indulunk el, akkor valójában mindig egész marad így az összeg. A bizonyítás igénye nélkül megjegyezzük, hogy a konstrukció jósága azon alapszik, hogy minden páratlan nevezőjű törtet a kétszer akkora nevezőjű törttel összeadva egész számot kapunk, így több ilyen összege is egész lesz. Ezzel kapunk egy konstrukciót a következő 4-gyel osztható számra, majd a lépést ismételve minden 4-gyel osztható számra meg tudjuk valósítani, hogy egész legyen a törtek összege.
A 2-nél nagyobb, 4-gyel nem osztható páros számok 4k+2 alakúak, ahol 4k-ra már megadtunk egy helyes konstrukciót az előbbi lépéssorozattal. Észrevehetjük, hogy a 4/2 tört mindig szerepel a konstrukcióban, hiszen az elején szerepel a 3/1+4/2-ben, és később csak a páratlan számokat cseréljük le. Így a 4/2 tört helyett használjuk a (4k+1)/2 és (4k+2)/4 törteket, a többit pedig ne változtassuk a 4k-ra adott konstrukcióban. Mivel (4k+1)/2 + (4k+2)/4 = 3k+1 egész, ezért a teljes összeg is egész lesz ebben az esetben is.
Például a kitűzött feladatban egy 4-gyel osztható szám szerepelt, így megnézhetjük, mit ad ez az eljárás 16-ra. A kezdeti konstrukció 3/1+4/2, majd az új számok az 5, 6, 7, 8. Ebből létrehozzuk a 5/3+8/6-ot, így a korábbi 3-ast kicseréljük a 7-re. Ezzel a konstrukció 8-ra: 7/1+4/2+5/3+8/6=12. Ezután érkezik a 9, 10, 11 és a 12, amiből a 9/5+12/10-et készítjük el, így a korábbi 5-öst 11-esre cseréljük. A konstrukció 12-re: 7/1+4/2+11/3+8/6+9/5+12/10=17. Végül a 13, 14, 15 és 16 számokból képezzük a 13/7+16/14 összeget és a korábbi 7-est átírjuk 15-re. Azaz a konstrukció 16-ra: 15/1+4/2+11/3+8/6+9/5+12/10+13/7+16/14=28.
Észrevehetjük, hogy ez a konstrukció megegyezik a megoldás végén általunk mutatott második konstrukcióval. Az algoritmus működését egy rövid animációval is szemléltetjük:
