Újra egy sporttal kapcsolatos kérdés következik, illetve a hétfői játék egy újabb változatát tűzzük ki, ezúttal kettő helyett három játékossal.
Aki a hosszú hétvégén szívesen gondolkozik a korábbi feladatokon, az bátran tegye, válaszokat is szívesen fogadunk.
Vitorlásverseny
Egy vitorlásversenyen heten indulnak, Te és hat ellenfeled. A verseny 3 futamból áll, egy versenyző végső pontszámát a futamonkénti helyezéseinek összege adja. (Tehát ha két futamban 2., egyben pedig a 4. helyen végzett egy versenyző, akkor a végső pontszáma 2+2+4=8.) Egy futamon belül nem lehet holtverseny és az nyeri az összetett versenyt, akinek végső pontszáma a legkisebb.
Azonos pontszámot elérő versenyzők között a legrosszabb helyezés rangsorol. Ez azt jelenti, hogy ha két versenyzőnek azonos a végső pontszáma, akkor az végez előrébb, akinek a legrosszabb helyezése jobb. Ha ez is azonos, akkor a második legrosszabb futamukban elért eredményük dönt. Ha mindhárom helyezésük azonos, akkor sorsolnak.
A verseny lezajlott, te minden futamban harmadik lettél. A lehető legjobb esetben hányadik lehetsz az összetettben?
Mi a helyzet akkor, ha mindháromszor negyedik helyet értél el?
Két játékossal szerepelt ez a feladat, most nagyon hasonlót fogunk kérdezni, de kettő helyett három játékossal.
Niki, Viki és Győző felváltva mondanak számokat 1-től 10-ig. Niki kezd, aztán Viki, Győző sorrendben haladnak. Az nyer, akinél az összeg eléri a 100-at. Az lesz a második, aki a győztes után következett volna. Kinek van nyerő stratégiája? Feltesszük, hogy mindhárman okosak, és mindegyikük az elérhető legjobb helyezésre törekszik.
Írd bele az ábra karikáiba az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokat. Majd minden vonalra írd fel a két végponton lévő szám pozitív különbségét. Minimum mennyi lesz a szakaszokra írt számok összege? Hogy helyezkednek el ebben az esetben a számok?
Megoldás
Elsőnek tekintsük csak az alsó négy karikából álló ábrát:
Ezen négy kör mindegyike össze van kötve mindegyikkel. Ha négy egymást követő számot írunk ezekbe a körökbe, akkor 10 lesz az éleken szereplő értékek összege minden kiosztás esetén. De vajon megéri „messzebbi” számokat tenni ezekbe a körökbe, hogy a többi részen spórolni tudjunk az éleken? Mindjárt kiderül, hogy sajnos nem.
Ha a négy szám nem szomszédos, akkor legalább 13 lesz az összeg, mert ha a számok között valahol “kitágítjuk a hézagot”, akkor az 3 vagy 4 különbséget növel meg. Hozzávéve a kimaradó három élt, azt kapjuk, hogy az összegnek legalább 16-nak kell lennie. Ahogyan az alábbi ábra ad is egy ilyen konstrukciót:
Ha négy egymást követő számot helyezünk el az alsó négy körben, akkor a maradék kettő szám kapcsán nézzük meg, hogy melyik körökkel vannak összekötve. Mivel a négyzet jobb felső körébe megy él a kettő másik körből, emiatt akkor járunk a legjobban, ha a két kimaradó szám egymás melletti lesz (például: 1 és 2). Ebben az esetben természetesen a 3-at kell írni a jobb felső körbe és mivel ezek kis számok, emiatt a bal felső négyzetbe minél kisebbet kell írni és a házikó tetejére pedig a nagyobb számot kell írni, hogy az éleken minél kisebb érték legyen, ami alapján ezt a kitöltést kapjuk.
Ilyen kitöltés esetén az összeg 15, amely minimális lesz. Ezen a példán felül további három kitöltés ad minimális értéket.
(Osztényi József)
Színkitalálás
Piros, kék és zöld négyzet alakú csempékkel fedtük le a síkot. Az ábrán látható fekete pöttyök szimmetria-középpontok, ezekre a pöttyökre tükrözve a csempézést ugyanazt a mintát kapjuk. A felületen a teljes sík egy részét látjuk, és csak néhány csempe színét áruljuk el, a többit szürkével jelöltük. A látható színek alapján próbáld meg kitalálni öt véletlenszerű mező színét. Minél többször tippelj helyesen, lehetőleg minél rövidebb idő alatt.
Ez a feladat sokkal inkább egy játék, mint matekfeladat. Aki hiányolja belőle a feladatot, attól azt kérdezzük csatlakozó kérdésként, hogy hányféle különböző módon színezhető a teljes felület.
Megoldás
Sokféle stratégiával ki lehet találni a hiányzó mezők színeit. Mi egy olyat mutatunk, amellyel egyúttal az extra kérdésre is válaszolunk.
Jelöljük S-sel a bal felső, 3×2-es téglalapot. S mezőit színezzük ki tetszőlegesen. A T téglalap az S téglalap középpontos tükörképe, a középpont az A pont. Ez alapján a T téglalap mezőit egyértelműen meg tudjuk határozni, hiszen elég megnéznünk, hogy melyik S-beli mező tükörképei. Talán szemléletesebb, ha a középpontos tükrözést úgy képzeljük el, hogy az A pont körül 180 fokkal elforgatjuk az S téglalapot, így kapjuk T-t.
Ha T-t tovább tükrözzük a B pontra, akkor S1-et kapjuk. A tükrözéskor a téglalap újra elfordul, tehát S1-et úgy is megkaphatjuk, hogy S-t eltoljuk az ábrán jelölt nyíllal.
Ugyanez igaz S2-re is. Ha folytatjuk a tükrözéseket, akkor láthatjuk, hogy az ábrán látható további téglalapok mezőinek is megkaphatjuk a színeit.
Hasonló módon láthatjuk, hogy a most kimaradt téglalapok is megkaphatóak egy rögzített 3×2-es téglalap tükrözéseivel. Vagyis a sárgával bekeretezett 6×4-es részek egymás eltoltjai, a mintájuk megegyezik.
Miért segít ez? A fentiek alapján láthatjuk, hogy egy mező tükrözött képei hogyan helyezkednek el. Egyrészt a saját 6×4-es részében kapunk egy tükörképet, ha a 6×4-es rész középpontjára tükrözzük. Másrészt tudjuk, hogy minden 6×4-es rész egymás eltoltja. Például, ha az ábrán látható kérdőjellel jelölt mezőt kérdezi a felület, akkor elég megnézni, hogy valamelyik, szürke mező színét ismerjük-e.
Ez a stratégia működik, de így is sok mezőt kell ellenőriznünk. Amikor próbálkoztam, nem sikerült egy percnél lényegesen jobb időt elérni.
Hányféle különböző mintázat létezik? Láttuk, hogy két darab 3×2-es téglalap mezőinek a színét tetszőlegesen előírhatjuk, viszont ezek minden más mezőt már egyértelműen meghatároznak. Tehát annyi minta van, ahányféleképpen három színnel 12 mezőt megszínezhetünk, így a mintázatok száma 312 = 531441.
A felület azt segíti, hogy ismerkedjünk azzal, hogy mi történik több középpontos tükrözés egymás utáni elvégzésekor. Ha valakinek van kedve, az gondolkodhat a következőn: Mindig igaz az, hogy két különböző középpontos tükrözést egymás után elvégezve egy eltolást kapunk?
