A mai megoldások rövidebbek, így most küldjük a teniszbajnokságos feladat megoldását is. Teljesült a vágyunk, született olyan megoldás, amire mi nem gondoltunk, ezt a megoldás résznél linkeljük is.
Mindenkit biztatunk, hogy küldjön bátran válaszokat is, szívesen látjuk, hogy hogyan gondolkoztok. Bár péntek munkaszüneti nap, de fogunk feladatokat és megoldásokat is küldeni.
Házikón számok
Írd bele az ábra karikáiba az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokat. Majd minden vonalra írd fel a két végponton lévő szám pozitív különbségét. Minimum mennyi lesz a szakaszokra írt számok összege? Hogy helyezkednek el ebben az esetben a számok?
Ősszel szerveztünk egy kísérletet középiskolai tanárok számára, ahol a geometriai transzformációkat dolgoztuk fel az általunk is képviselt felfedeztető módszer szellemében. Ennek során született a következő játék, amit szívesen megosztunk veletek. (A kísérlet során elkészült anyagokat összegyűjtöttük. Ha valaki szívesen használja a tanítása során, annak nagyon örülünk.)
Piros, kék és zöld négyzet alakú csempékkel fedtük le a síkot. Az ábrán látható fekete pöttyök szimmetria-középpontok, ezekre a pöttyökre tükrözve a csempézést ugyanazt a mintát kapjuk. A felületen a teljes sík egy részét látjuk, és csak néhány csempe színét áruljuk el, a többit szürkével jelöltük. A látható színek alapján próbáld meg kitalálni öt véletlenszerű mező színét. Minél többször tippelj helyesen, lehetőleg minél rövidebb idő alatt.
Ez a feladat sokkal inkább egy játék, mint matekfeladat. Aki hiányolja belőle a feladatot, attól azt kérdezzük csatlakozó kérdésként, hogy hányféle különböző módon színezhető a teljes felület.
A játékban két játékos játszik egymás ellen. Egy bábuval lépnek felváltva a számegyenesen. A bábu a nulláról indul, egy körben 3 és 10 közötti értékkel léphet jobbra. Az nyer, aki a bábuval a 100-ra lép. Ha senki sem lép a 100-ra, akkor a játék döntetlen. Győzz le minket ebben a játékban.
Megoldás
Gondolkozzunk visszafelé! Hova lépjünk, hogy az ellenfelünk lépése után biztosan mi léphessünk a 100-ra?
89-nél nagyobb helyre nem érdemes lépnünk, így jó ötletnek tűnik a 89-et választanunk. Azonban az ellenfelünk ki tud velünk babrálni, ha innen a 99-re lép. Hiszen, ekkor egyikünk sem tud a 100-ra lépni, azaz nem tudunk győzni.
Hasonló a helyzet a 88 esetén. 87-re lépve azonban biztosan nyerünk, hiszen bármit is lép az ellenfelünk, azt ki tudjuk egészíteni 13-ra, amivel éppen a 100-ra lépünk.
Ezt a gondolatmenetet megismételve azt kapjuk, hogy a 87 előtt a 74-re érdemes lépni, hiszen ha a 74-re lépünk, akkor az ellenfelünk lépését kiegészítve a 87-re jutunk. Hasonlóan folytatva a 61, 48, 35, 22, 9 mezők azok, amelyekre lépnünk kell (ezeket nyerő mezőknek is szoktuk hívni). Ha van kedvetek, akkor a felületen ellenőrizzétek le a stratégiát.
Ennek a játéknak az ismertebb változatában 1 és 10 közti értékkel lehet lépni. Erre az ismertebb játékra vissza fogunk még térni, így érdemes ezt is átgondolni.
(Szűcs Gábor)
Mérlegelj okosan!
Egy nyomozás során találtunk egy aranytömböt, amelynek szeretnénk megállapítani a tömegét. Annyit már biztosan tudunk, hogy a súlya pontosan megegyezik az 1, 2, 3, ..., 8 kg-os mérősúlyaink valamelyikével.
A feladathoz egy kétkarú mérleg áll rendelkezésünkre. Egy mérés során összehasonlíthatjuk az aranytömböt az egyik kiválasztott mérősúllyal, de ennek ára van: a mérés pontosan annyi Dürer dollárba kerül, amekkora a használt mérősúly tömege. (A Dürer dollár az általunk szervezett Dürer Verseny hivatalos fizetőeszköze.)
Ezt a feladványt az általunk szervezett Dürer Versenyen pár éve szereplő feladat alapján adtuk fel.
12 Dürer dollárral már meg tudjuk állapítani biztosan a tömegét. Elsőnek nézzünk egy stratégiát erre, majd végiggondoljuk, hogy miért nem lehetséges kevesebb költségből.
Elsőnek mérjük össze az 5 kilogrammossal az aranytömböt.
Ha ennél nehezebb, akkor még a 7 kg-os súllyal kell összehasonlítanunk, hogy el tudjuk dönteni, 6, 7 vagy 8 kg-os-e, ebben az esetben az összköltség: 5+7=12 .
Ha könnyebb, mint 5 kg, akkor a 3 kg-ossal hasonlítjuk össze. Ha ennél is könnyebb, akkor még az 1 kg-ossal is mérnünk kell a biztos tömeghez, ekkor a költségünk legrosszabb esetben is 5+3+1=9.
Más első mérésnél hány Dürer dollárból tudjuk meg a tömeget?
Ha 6 kg-ossal kezdünk és az arany a nehezebb, még mindig nem tudjuk, hogy 7 vagy 8 kg. Ezt legolcsóbban a 7 kg-os súllyal tudjuk eldönteni. Ez már legalább 6+7=13.
Ha legalább 7 kg-ossal kezdünk, akkor kifizettünk már legalább 7 dollárt. Ha az arany könnyebb, még mindig meg kell különböztetnünk az 5 és 6 kg-os eseteket, ez legalább egy 5 kg-os mérést igényel, így máris 7+5=12 dollárnál járunk és lehetséges, hogy még ennél is kisebb tömegű az aranyunk.
Ha 4 kg-ossal vagy könnyebbel kezdünk. Ebben az esetben kifizetünk legalább 1 dollárt. Ha az arany a nehezebb, biztosan marad opciónak 5, 6, 7 vagy 8 kg, mint opció. Ekkor még két lépés biztosan hátra van. Szeretnénk megkülönböztetni egymástól az 5-öt és a 6-ot, valamint a 7-et és a 8-at. Tehát a kezdő mérés után még garantáltan ki kell fizetnünk legalább 5-öst és egy másik legalább 7-est. Így a költség biztosan legalább 1+5+7=13 dollár lesz.
(Osztényi József)
A hétőfi levélbe nem fért bele, így most küldjük a Teniszbajnokság megoldását:
Teniszbajnokság
A női Grand Slam tornákon egy teniszmeccs addig tart, amíg valamelyik játékos két szettet nyer. Tehát egy meccs két (2:0) vagy három (2:1) szett alatt dőlhet el. Kíváncsiak voltunk arra, hogy a meccsek mekkora része dől el kettő, illetve három szett alatt. Készítettünk is egy statisztikát, ezek szerint az 1968 és 2024 között a főtáblán játszott mérkőzések 70,59%-a dőlt el két szettben.
A férfiaknál három nyert szettig tart egy mérkőzés. Tippeld meg, hogy ott mekkora a 3, 4, illetve 5 szett alatt végződő meccsek aránya!
Megoldás
A kérdés azért nehéz, mert nagyon sokféle tényező befolyásolja a meccsek kimenetelét. Számít a játékosok erőssége, ki kezdi a szervát, lélektani szempontok, milyen borításon játszanak és így tovább, vég nélkül sorolhatnánk a különböző szempontokat.
Sok körülménnyel nem fogunk foglalkozni, már szinte bántóan leegyszerűsítjük a problémát. Legyen X és Y két játékos, tegyük fel, hogy X minden szettet p valószínűséggel nyer meg, Y pedig (1-p)-vel.
Mekkora az esélye, hogy a mérkőzés két szett alatt véget ér?
Annak az esélye, hogy X két szettet nyer: p·p (mindkét szettet meg kell nyernie, ennek egymástól függetlenül p a valószínűsége, a két esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét a szorzatuk adja). Annak az esélye, hogy Y nyer két szettet, pedig (1-p)·(1-p). Tehát annak az esélye, hogy két szett alatt véget ér a játék: p2 + (1-p)2 = 1 - 2p + 2p2.
Szeretnénk, ha a két szettes meccsek aránya 70,59% lenne, ehhez arra van szükség, hogy 1 - 2p + 2p2 = 0,7059 teljesüljön. A másodfokú egyenlet megoldása alapján azt kapjuk, hogy p = 0,821 (az egyenletnek a p = 1 - 0,821 egy másik megoldása, de ezzel számolva is ugyanezt a modellt kapjuk). Azaz, ha csak X és Y játszana egymás ellen, akkor a p-t így választva a feladatbeli arányt kapjuk.
Most nézzük meg, hogy a modellünk mit ad a férfiak esetén. A fenti számoláshoz hasonlóan a három szettes meccs valószínűsége p3 + (1-p)3. A négy szettes meccseknél egy szettet nyer a vesztes játékos, ez biztosan az első három szett valamelyike. Ezek alapján a négy szettes meccsek valószínűsége: 3·p3·(1-p) + 3·p·(1-p)3. Az előző két valószínűséget 1-ből kivonva megkapjuk az 5 szettes meccsek valószínűségét is.
Ha behelyettesítjük a 0,821 értéket ezekbe a képletekbe, akkor azt kapjuk, hogy a 3, 4 és 5 szettes meccsek aránya 55,91%, 31,12% és 12,97%.
A valóságból sok mindent nem vettünk figyelembe, sőt, úgy is mondhatjuk, hogy szinte semmit sem. A legszembetűnőbb pontatlanság, hogy az nyilvánvalóan nem lehet igaz, hogy két tetszőleges teniszező közül az egyik mindig 82% eséllyel nyer. (Az azért igaz, hogy a játékosok kiemelésének köszönhetően a meccsek jelentős részében van egy egyértelműen esélyesebb játékos.)
Ezek fényében meglepő, de a tipp mégis elég jó, a valóságban a 3, 4 és 5 szettes meccsek aránya 49,63%, 31,22% és 19,15%, azaz az eltérés kb. 12 százalékpont (ha a p=0,821 értéket kicsit módosítjuk, akkor az eltérés 4 százalékpontra csökkenthető).
Az általatok írt tippeket is feldolgoztuk, az átlagos eltérés kb. 20 százalékpont. Németh Zsolttól egy nagyon alapos levezetést kaptunk, ezt linkeljük is. Egyébként az általa adott tipp (50%, 30%, 20%) többeteknél is megjelent, meglepően sokan ráéreztetek a valós arányokra. Bátran osszátok meg a stratégiátokat kommentben.
A teniszmeccsek adatait megtalálhatjátok Jeff Sackmann csodálatos github oldalán. Készítettünk pár statisztikát, ahol többféle bontásban is megvizsgáltuk, hogy hány szettesek a teniszmeccsek.
1968 óta, évtizedenként megvizsgálva a szettek számát, az derült ki, hogy mind a nőknél mind a férfiaknál nő a hosszabb meccsek aránya, vélhetően a mezőny kiegyensúlyozottabbá válása miatt.
Úgy tűnik, hogy van szerepe a lélektani tényezőnek is: gyakoribb, hogy egy meccs későbbi győztese a korábbi szettet (vagy szetteket) veszíti el.
Az első fordulótól kezdve egészen a negyeddöntőkig kicsi a különbség a meccsek átlagos hosszában. Ez meglepő, mi arra számítottunk volna, hogy a negyeddöntőben kiegyensúlyozottabb meccsek vannak, mint az első fordulóban.
