minden·ki·jön 2026 – 7. nap

Cél a 100! · Mérlegelj okosan! | Szomszédvári emlékmű · Tükörterem

Több támogatói kampányt is szerveztünk már, ahol öregdiákjaink támogatták a diákok számára szervezett programjainkat (táborok, minitáborok, egynapos foglalkozások), a támogatási összeget pedig a Sonrisa megduplázta.

Szerettünk volna valamit „adni” az öregdiákjainknak a támogatásért cserébe – ez volt a minden·ki·jön projekt apropója. Aztán arra gondoltunk, hogy ha szervezünk nekik egy programot, akkor jöhessen mindenki. A támogatói kampány már zajlik. Amennyiben valakinek (nem csak öregdiákoknak) van lehetősége, és szívesen támogatja az Alapítvány diákoknak szóló programjait, azt ezúton is nagyon köszönjük.

Cél a 100! (*)

A játékban két játékos játszik egymás ellen. Egy bábuval lépnek felváltva a számegyenesen. A bábu a nulláról indul, egy körben 3 és 10 közötti értékkel léphet jobbra. Az nyer, aki a bábuval a 100-ra lép. Ha senki sem lép a 100-ra, akkor a játék döntetlen. Győzz le minket ebben a játékban.

Örülünk, ha megírod, hogy hogyan játszottál, ezt a szokásos kérdőíven teheted meg:

Mérlegelj okosan!

Egy nyomozás során találtunk egy aranytömböt, amelynek szeretnénk megállapítani a tömegét. Annyit már biztosan tudunk, hogy a súlya pontosan megegyezik az 1, 2, 3, ..., 8 kg-os mérősúlyaink valamelyikével.

A feladathoz egy kétkarú mérleg áll rendelkezésünkre. Egy mérés során összehasonlíthatjuk az aranytömböt az egyik kiválasztott mérősúllyal, de ennek ára van: a mérés pontosan annyi Dürer dollárba kerül, amekkora a használt mérősúly tömege. (A Dürer dollár az általunk szervezett Dürer Verseny hivatalos fizetőeszköze.)

Legkevesebb hány Dürer dollárból határozhatjuk meg biztosan az aranytömb tömegét?

Szomszédvári emlékmű

Szomszédvár megújult főterére modern köztéri szobor felállítását tervezik. Az alkotás tíz különálló oszlopból áll, melyek magassága méterben mérve: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5.

A tervező elképzelése szerint az oszlopok sorban egymás mellett állnak majd úgy, hogy a két szélsőt kivéve minden oszlop magassága pontosan megegyezik a két közvetlen szomszédja magasságának összegével vagy különbségével.

1. Milyen sorrendben állhatnak majd Szomszédvár oszlopai? Találsz legalább egy megfelelő sorrendet? Esetleg megtalálod az összes lehetséges sorrendet?

2. Érdekes lehet azon is elgondolkodni, hogy vajon álmodozhat-e a tervező tíznél több oszlopból álló emlékműről is, melyben az előzőeknek megfelelően pl. 1, 1, 2, 2, 3, 3, … 6, 6-méteres oszlopok szerepelnek.

Megoldás

Kényelmes megoldási út kínálkozik, ha megfigyeljük a számok paritását (párosságát). Vajon milyen sorrendben követhetik egymást a számok csupán a paritást figyelve? Ha nem így gondolkodtál, érdemes lehet bejárnod ezt az utat is, s csak ezután megnézni a következő lépéseket.

Egy adott szám a szomszédai összege vagy különbsége, ezért ha a két szomszéd mindegyike páros (●) vagy mindegyike páratlan (○), akkor az adott szám páros lesz, akár az összeget, akár a különbséget nézzük. Ha a szomszédok egyike páros, a másik páratlan, akkor a köztük lévő szám mindenképpen páratlan kell, hogy legyen.

Ha ezt értjük, akkor azt is látjuk, hogy két páros szám után mindenképpen párosnak kell következni, mert ha páratlan jönne, akkor akár a két szélső összegét, akár különbségét nézve a középső nem lehetne páros.

●● → ●●●

Ugyanez átgondolható a két szomszédos páros előtti számra, annak is párosnak kell lennie. Vagyis csak úgy lehetne két szomszédos páros számunk, ha minden szám páros lenne.

… ●●●●●● …

Nekünk van páratlan számunk is, tehát már tudjuk, hogy nem lesz 2 szomszédos páros szám a sorban.

Ha páros után páratlan szám jön, akkor a következőnek ismét páratlannak kell lennie, ezután újra páros jön. Sőt, balra haladva hasonlóan gondolkodva, már látjuk, hogy a mintánk az alábbi lesz, ebből kell kijelölnünk egy tíz számból álló részletet:

… ○○●○○●○○●○○●○○● …

Négy páros és hat páratlan számot szeretnénk elhelyezni. Négy páros szám csak úgy lehet a sorban, ha az elején és a végén is páros van:

●○○●○○●○○●

Egy blokknak fogom nevezni a két szélén páros számokkal keretezett 2 páratlan számot: ●○○● Három ilyen blokkunk van, melyek egymáshoz kapcsolódnak a megfelelő - közös - páros(●) számokkal.

A belső számok különbségként vagy összegként jönnek létre. Az 1 csak különbségként, az 5 csakis összegként jöhet létre. Nézzük most az ötöt, mert ennek összetételére mindössze 2 lehetőségünk van:

1. 1 + 4, tehát: 451 vagy 154 – így egy négyes után vagy előtt jön 1 és 5. 451-et jobbra és 154-et balra egyértelműen 4-gyel folytathatjuk: 4514 és 4154. Vagyis az 1-et és az 5-öt mindenképpen két négyes kell, hogy határolja.

2. 2 + 3, tehát: 253 vagy 352 – így egy kettes előtt vagy után jön 5 és 3. 253 után jobbra és 352 után balra egyértelműen 2 következik, Vagyis az 5-öt és a 3-at két 2-es határolja majd.

Eddig kétféle blokkról volt szó: négyesekkel vagy kettesekkel határoltak, ezeken belül a két belső szám kétféle sorrendben követheti egymást: 4514 vagy 4154 és 2532 vagy 2352. Egyik típusból sem lehet egynél több, mert ehhez legalább még egy kettesre vagy négyesre lenne szükség. Két 5-öst kell elhelyeznünk. Ennek megfelelően biztosan szükség is lesz a kétféle blokkra.

Tehát a számsor 2 _ _ 2 _ _ 4 _ _ 4 vagy 4 _ _ 4 _ _ 2 _ _ 2, a 2-vel határolt blokkban 3,5, a 4-gyel határolt blokkban 1, 5 valamilyen sorrendben. A maradék 1 és 3 a középső, összekötő blokkban kell, hogy legyen.

A megoldás kapujában állunk, lépjünk is be:

Kedvünk szerint indulhatunk bármelyik blokkból, én a középsőt választom, először 1, 3 sorrenddel:

2 _ _ 2 1 3 4 _ _ 4. Figyelembe véve, hogy mik állhatnak az első blokkban (3 és 5) és harmadik blokkban (1 és 5), könnyedén adódik: 2 5 3 2 1 3 4 1 5 4. Ugyanez fordított sorrendben is megfelelő.

2 _ _ 2 3 1 4 _ _ 4 esetén: 2 3 5 2 3 1 4 5 1 4. Ugyanez fordított sorrendben is megfelelő.

A négy megfelelő számsor tehát:

2532134154 4514312352 mintha az oszlopsort elölről vagy hátulról néznénk :)

2352314514 4154132532

Izgalmas lehet még átgondolni azt, hogy lehet-e tíznél több oszlop, és ehhez már van is elegendő tapasztalatunk, hogy könnyedén választ adhassunk: Nem lehet!

Idézzük fel a már átgondolt paritás-mintázatunkat:

… ○○●○○●○○●○○●○○● …

Ha a mintát nézzük, akkor n darab páros számhoz szükségünk van legalább (n-1)·2 darab páratlan számra, hogy közéjük rakhassuk őket. Ennél kevesebb páratlan szám nem elég.

Ha a rendelkezésünkre álló számokat nézzük, akkor n darab páros számhoz legfeljebb n+2 darab páratlan számmal gazdálkodhatunk: 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 …

n = 4 esetén (n-1)·2 = n+2 = 6. Így ez még éppen működik 1122334455-re. (De 11223344-re nem!)

Ha n értékét (a páros számok darabszámát) eggyel növeljük, akkor (n-1)·2 értéke 2-vel, n+2 értéke azonban csak eggyel nő. Így innentől kezdve a rendelkezésünkre álló páratlan számok száma kevesebb lesz, mint a minta alapján nekünk szükséges páratlan számok száma.

(Szenyovszky Judit)

Tükörterem

Van egy 2 × 7-es terem, melynek 1 × 1-es mezőire átlós irányban tükröket lehet elhelyezni. A terem oldalaival párhuzamosan érkező fényt a tükrök mindkét oldala derékszögben töri meg. Ha a fény eléri a terem falát, ott elhagyja a termet. Azt szeretnénk, hogy az alsó sor hatodik mezőjébe alulról érkező fény a felső sor első mezőjén távozzon vízszintes irányban. Tegyünk le tükröket a mezőkre úgy, hogy ez megvalósuljon! Legfeljebb hány tükrön törhet meg a fény (legalább egyszer)?

Vajon mi a helyzet akkor, ha 3 × 7-es a terem? Ekkor hány tükröt lehet használni maximum?

Megoldás

A 2×7-es esetben összesen 14 mező áll rendelkezésre, ennél több tükröt biztosan nem tudunk használni. Az ábrán látható, hogy valóban lehetséges elhelyezni 14 tükröt megfelelő módon.

A 3×7-es esetben összesen 21 mező áll rendelkezésre. Némi próbálkozás után azt tapasztalhatjuk, hogy nem sikerül mind a 21 mezőbe úgy tükröt elhelyeznünk, hogy azokat mind használjuk is.

Nézzük meg, mi lehet ennek az oka. Ha minden mezőre szeretnénk tükröt, akkor a négy sarokba is kerül tükör, ezek pedig csak az alábbi ábrán látható módon állhatnak. (Ennek részletes átgondolását az Olvasóra bízzuk.)

Vizsgáljuk most a két szélső oszlop mezőit. A négy sarok már fix, de azt vehetjük észre, hogy az oszlop középső mezőjére akárhogyan is teszünk le tükröt, az nem lesz jó. Attól függően, hogy pontosan honnan érkezik a fény a szélső oszlopba, az vagy nem megfelelő helyen hagyná el a termet, esetleg ki sem tudna menni a bal felső sarkon, vagy valamelyik tükröt valójában nem használná. Az alábbi ábrán ezt csak illusztráljuk, a lehetőségek végiggondolását az Olvasóra bízzuk.

Ezért a szélső oszlopok egyikénél sem kerülhet tükör mindhárom mezőre (vagy a középső mezőre nem teszünk, vagy ha oda igen, akkor valamelyik sarkot kell kihagynunk). Így a két szélső oszlop 6 mezőjébe legfeljebb 4 tükör kerülhet, az egész terembe így legfeljebb 19 tükör tehető. A feladat 19 tükörrel meg is oldható például az alábbi módon. (Ez valóban példa csak, van más 19 tükröt használó megoldás is.)

(Tassyné Berta Andrea)

Elértük az email terjedelmi korlátját, így a Teniszbajnokság megoldása nem fért bele, ezt majd a szerdai levélben küldjük.