Köszönjük a kérdőív kitöltőinek a válaszokat. Örülünk, hogy olvasóink között matematikatanár, gyógyszerész, építészmérnök és meseíró is van, az életkorok is változatosak, 10 és 71 év között szóródnak. Hozzá kell tennünk, hogy gondolkozni jobban szerettek, legalábbis lényegesen több válasz érkezik a feladatokra, mint a kérdőívre. Ha valamikor kedvet kaptok, akkor később is írhattok magatokról pár szót a kérdőívben. Mi is elkészültünk a frissített bemutatkozásunkkal.
Osztozkodás csokin
Két testvér egy 6×6 kis négyzetből álló (összesen 36 kockás) tábla csokin osztozkodik. Megegyeznek, hogy úgy vágják szét, hogy mindketten egy-egy egybefüggő kis négyzetekből álló darabot kapjanak.
Trükkösen kettévágják a táblát, majd a nagyobb testvér boldogan felmutatja a saját részét és diadalittasan felkiált: „Nézd, az enyém sokkal nagyobb! Ha körbeméred, a részem kerülete pontosan a kétszerese a tiédnek!”
A fiatalabb testvér egy pillanatig szomorúan nézi a kezében maradt, tömzsibb darabot, majd elmosolyodik: „Lehet, hogy a tiednek hosszabb a széle, de valójában én kaptam a több csokit!”
Egy raktárt automatizáltak, minden csomagot robotok szállítanak a polcok rekeszeibe. Minden rekesz pontosan ugyanakkora, de mi nem ismerjük a pontos méretet. Annyit tudunk, hogy a szabványok szerint egy rekesz szélessége 40, 50, 60, 70 vagy 80 cm, a magassága pedig 30, 40 vagy 50 cm lehet (a mélységét ismerjük, azt nem kell meghatároznunk).
Mi dobozokat adhatunk a robotoknak, a doboz szélességét és magasságát tetszőlegesen beállíthatjuk. Ha a doboz elfér egy üres rekeszben, akkor odateszik, ha nem fér bele, akkor visszahozzák (a robotok a dobozokat nem forgatják el).
Az a cél, hogy minél kevesebb próbálkozásból megállapítsuk a rekeszek pontos méretét. Online is kipróbálhatjátok.
Ha a doboz mérete pontosan megegyezik a rekeszével, akkor a doboz belefér a rekeszbe.
Vármegyebérletek
Egy vármegyebérlet ára 5 ezer forint, egy országbérleté 18 ezer forint. Mindkét típusú bérlet pontosan 30 napig érvényes. Úgy tűnik, hogy nem éri meg háromnál több vármegyebérletet birtokolnunk, hiszen négy vármegyebérletnél olcsóbb egy országbérlet. Ez azonban nem igaz. Maximum hány érvényes vármegyebérlet lehet nálunk egyszerre úgy, hogy megérje nekünk?
Feltételezzük azt, hogy költséghatékonyan vásárolunk és azt is, hogy előre ismerjük az utazási terveinket. A feladat kedvéért a bérletek árát módosítottuk.
Megoldás
Képzeljük el, hogy március 3. és április 1. között sokat utazunk A, B, C megyékben, míg április 1. és 30. között E, F, G megyékben járunk. Továbbá március 20. és április 15. között D megyében szeretnénk utazni.
Ha márciusban és áprilisban ezeken kívül nincsen más utazási tervünk, akkor vármegyebérleteket érdemes vennünk. Egy megfelelő vásárlás, hogy A, B, C megyékre március 3-től április 1-ig, míg D megyére március 17-től április 15-ig, míg E, F, G megyékre április 1-től 30-ig veszünk bérletet. Ekkor 35 000 forintot költünk.
Ennél nem tudunk olcsóbban kijönni. Két országbérlet ennél többe kerül, tehát azt nem éri meg vennünk. Ha egy országbérletet vennénk, akkor annak bárhogyan is választanánk meg annak az időpontját, kimaradna legalább 4 megye, amire még bérletet kellene vennünk, ami szintén nem éri meg.
Tehát létezik olyan példa, amikor megéri az, hogy 7 érvényes vármegyebérletünk van. Ha 8 vármegyebérletünk lenne, akkor annál biztosan jobban megérné egy előző nap lejáró és egy aznap induló országbérletet vennünk. A két országbérlettel bármelyik vármegyebérlet helyettesíthető, és még együtt is olcsóbbak, mint a 8 vármegyebérlet. Így az már nem éri meg, ha 8 érvényes vármegyebérletünk van egyszerre.
(Szűcs Gábor)
Pálcikák újratöltve
Tegyünk az asztalra egyforma méretű pálcikákat (gyufát, ropit, fogpiszkálót vagy egyebet) úgy, hogy minden pálca mindkét vége pontosan két másikhoz csatlakozzon! A pálcikák nem keresztezhetik egymást, csatlakozás kizárólag a végeken lehetséges.
Tekintsünk értékesebbnek egy konstrukciót, ha kevesebb pálcikából áll! Keress minél értékesebb alakzatot !
Megér egy gondolat-kalandot térben is vizsgálódni, de síkban nehezebb dolgunk van, így izgalmasabb is a kérdés.
Egy kis mese következik, amit át is ugorhatsz.
Ez a rejtvény Heiko Harborth, német matematikus ötlete. Külön érdekessége, hogy elmondása szerint Erdős Pál egyik megoldatlan problémája adta hozzá az ihletet.
Harborth vizsgálta azokat a síkbeli konstrukciókat is, amelyekben minden pálcika mindkét végén három másikhoz csatlakozik, vagyis minden csomópontban négy pálcika találkozik. Alkotott egy 104 gyufából álló, 52 csomópontú konstrukciót (gyufa-gráfot), mely azóta az ő nevét viseli. A Harborth gráf a legkisebb ismert példa az adott feltételekkel. A kérdés nyitott. Érdekes konstrukció, az ábrát beteszem az eredeti rejtvényünk megoldásának végére.
Megoldás
Kiindulhatunk egy háromszögből. A csúcsokban hiányzik még 1-1 pálca, ezeket tegyük oda! Ha most az utóbbi 3 pálca végét összeillesztjük, megkapjuk a tetraédert.
Maradjunk most síkban, az asztal lapján! Illesszük össze az alsó két pálca szabad végét! Az így kapott rombusz egy csúcsában hiány keletkezik, illesszünk ide egy pálcát, majd folytassuk láncszerűen a rombuszok elhelyezését, a végén pedig zárjuk össze a láncot! Így egy 18 pálcából álló, megfelelő alakzathoz jutottunk. Vajon hogyan tudnánk szűkíteni a pálcák számát?
Íme egy számunkra „értékesebb” alakzat, 15 pálcából. Gondolkodj el most, hogy vajon tudsz-e még ennél is értékesebb konstrukciót alkotni!
Ha elhagyunk a középső öt pálcika közül hármat, akkor éppen összeér a két rombusz két megfelelő csúcsa, hiszen így egy szabályos hatszögbe rendeződik. Most érdemes elgondolkodni, hátha mégis tudunk ebből egy igazán jó konstrukciót gyártani, egy kis ötlettel!
Íme a legértékesebb síkbeli alakzat, 12 pálcikából. Belátható, hogy ennél kevesebb nem elegendő:
Bizonyára sokakban felmerül a gyanú, hogy nincs-e ebben valami turpisság; talán nem is tudjuk így lerakni a pálcikákat, mert összeérnek a rombuszok. Most érdemes kipróbálni 😊
Geometriailag is könnyedén belátható, hogy a pálcák bizony nem érnek össze.
