Egyik célunk, hogy létrejöjjön egy közösség, akik szívesen gondolkodnak feladatokon, megosztják egymással a tapasztalataikat, csatlakozó kérdéseiket és kialakul egy közös beszélgetés. Ennek egy lehetséges fóruma, ha a honlapon kommenteltek. Minden poszt alatt kommentben segítségeket is találhattok az aktuális feladatokhoz.
Mindezek mellett szeretnénk megismerni titeket, így kérünk, ha van kedvetek, akkor töltsétek ki ezt a kérdőívet.
Vármegyebérletek
Egy vármegyebérlet ára 5 ezer forint, egy országbérleté 18 ezer forint. Mindkét típusú bérlet pontosan 30 napig érvényes. Úgy tűnik, hogy nem éri meg háromnál több vármegyebérletet birtokolnunk, hiszen négy vármegyebérletnél olcsóbb egy országbérlet. Ez azonban nem igaz. Maximum hány érvényes vármegyebérlet lehet nálunk egyszerre úgy, hogy megérje nekünk?
Feltételezzük azt, hogy költséghatékonyan vásárolunk és azt is, hogy előre ismerjük az utazási terveinket. A feladat kedvéért a bérletek árát módosítottuk.
Tegyünk az asztalra egyforma méretű pálcikákat (gyufát, ropit, fogpiszkálót vagy egyebet) úgy, hogy minden pálca mindkét vége pontosan két másikhoz csatlakozzon! A pálcikák nem keresztezhetik egymást, csatlakozás kizárólag a végeken lehetséges.
Tekintsünk értékesebbnek egy konstrukciót, ha kevesebb pálcikából áll! Keress minél értékesebb alakzatot!
Megér egy gondolat-kalandot térben is vizsgálódni, de síkban nehezebb dolgunk van, így izgalmasabb is a kérdés.
Egy 3×3-as biztonsági zár kódját szeretnénk megfejteni. Mindegyik mezőben pontosan egy, egymástól különböző szám áll és a négy sarok értékét már ismerjük, ezeket látjuk magunk előtt:
Továbbá tudjuk, hogy az üres mezőkön az 5, 6, 7, 8 és 9 számok szerepelnek. A rendszer csak akkor enged be, ha a rácson található összes 2×2-es blokkban pontosan ugyanannyi a számok összege. Hányféleképpen lehet kinyitni a zárat? Egyáltalán van megoldás?
Megoldás
A zárban összesen négy darab 2×2-es blokk van. Ezeket a továbbiakban nevezzük bal felső, bal alsó, jobb felső és jobb alsó blokkoknak. Továbbá jelöljük a hiányzó számokat betűkkel (a, b, c, d, e).
A c mind a négyben blokkban benne van, emiatt ide bármely szám kerülhet.
Mivel a bal oldali blokkoknak van két mezőnyi metszete, emiatt tudjuk, hogy 4+a=2+e. Ezt hasonlóan megtehetjük az alsó blokkokkal, amiből megkapjuk, hogy b+2=d+1. Vagyis tudjuk, hogy a-nál kettővel nagyobb e és b-nél eggyel nagyobb d.
A rendelkezésre álló számok miatt három eset lehetséges a-ra és e-re.
Első esetben legyen a=5, e=7, ekkor 6, 8 és a 9 számok maradtak ki. A b és d között a különbség egy, emiatt b=8 és d=9 lehet csak és c értékének marad a 6. Ezzel fel tudjuk törni a zárat!
Második esetben legyen a=6, e=8, ekkor 5, 7 és a 9 számok maradtak ki. A b és d között a különbségnek egynek kéne lennie, de ezekkel a számokkal nem lehetséges. Ebben az esetben sajnos nincs kódfeltörő elhelyezés.
Harmadik esetben legyen a=7, e=9, ekkor 5, 6 és a 8 számok maradtak ki. A b és d között a különbség egy, emiatt b=5 és d=6 lehet csak és c értékének marad a 8. Ezzel fel tudjuk törni a zárat!
Összegezve kétféleképpen lehet feltörni a zárat.
A feladat érdekessége, hogy ez egy 2. osztályosoknak szóló versenyfeladat volt. Nem tudjuk, hogy a másodikosoknak mennyire ment a megoldás, nekünk egész sok időnkbe telt eljutni a megoldásig.
(Osztényi József)
Bogozd ki (**)
Színezd ki az alábbi 7×8-as táblázat néhány mezőjét szürkére, valamint rajzolj bele egy hurkot úgy, hogy a következők teljesüljenek:
ne az összes mező legyen szürke,
a hurok csak oldalszomszédos mezőket köthet össze, nem keresztezheti önmagát és minden mezőn pontosan egyszer megy át,
a hurok mentén körbehaladva a szürke mezők azonos lépésközönként kövessék egymást.
Az ábrán látható módon előre kiszíneztünk néhány mezőt szürkére, és a hurok egy darabja is adott.
Megoldás
Ha látunk egy rejtvényt, mindig elkezdjük kutatni, hogy az ábra melyik szegletéből tudunk kiindulni, és mik azok, amiket rögtön be tudunk írni vagy rajzolni. Általában ilyen kis lépésekkel haladunk előre, míg végül el nem jutunk a célig, és megfejtjük az egész rejtvényt.
Azonban ebben a rejtvényben, bár a sarkok környékén világos, hogy a hurok csak egyféleképpen kanyarodhat, miután ezeket berajzoltuk, akárhogy is keressük a folytatás lehetőségét, nincs semmi, amit biztosan be tudnánk rajzolni.
Más szóval, elakadtunk. Akkor most hogyan tovább, mi mást lehet még csinálni egy rejtvénynél? Próbáljuk meg megérteni a furcsa feltételeket, amik a szürke mezőkről szólnak. Hány szürke mező lehet? A táblázat összesen 7 · 8 = 56 mezőből áll, és a feltételek szerint a huroknak minden mezőn pontosan egyszer kell áthaladnia, miközben a szürke mezők a hurok mentén egyenlő lépésközönként követik egymást. Ebből az következik, hogy a szürke mezők száma biztosan osztja az 56-ot. Az előre beszínezett mezőket is figyelembe véve pedig legalább 5 ilyen mező van, így biztosak lehetünk abban, hogy végül 7, 8, 14 vagy 28 mezőt kell beszíneznünk. Ezekben az esetekben a hurok mentén a szürke mezők 8, 7, 4 vagy 2 lépésközönként követik egymást.
Ez sajnos továbbra sem tűnik túl hasznos információnak. Szükségünk van még egy észrevételre: ha sakktáblaszerűen megjelölünk minden második mezőt egy pöttyel az ábrán látható módon, akkor a hurok mindig felváltva halad át jelölt (pöttyös) és jelöletlen (üres) mezőkön. Ebből az is következik, hogy ha a szürke mezők mindig páros lépéstávolságra lennének egymástól, akkor vagy mindegyik pöttyös, vagy mindegyik üres mezőre esne. Ez azonban nem lehet igaz, mert már az előre beszínezett mezők között is van olyan, amelyik pöttyös, és olyan is, amelyik nem. Ezek alapján az egyetlen lehetőség, hogy 8 szürke mező van, melyek 7 lépésenként követik egymást a hurkon. A szürke mezőkből 4 pöttyös és 4 üres lesz, amelyek közül a pöttyöseket már mind ismerjük.
Ez már valami! Figyeljük meg, hogy az egyetlen előre adott üres szürke mezőnek két pöttyös szürke mező között kell lennie a hurok mentén, mindkettőtől 7 lépésnyi távolságra. Könnyű meggondolni, hogy ez csak a két feljebb lévő pöttyös szürke mező esetén lehetséges. Ezek közül a bal oldalihoz legalább 7 lépés szükséges, ezért ez csak úgy lehetséges, ha közöttük a hurok a lehető legrövidebb úton halad (ami persze nem egyértelmű). A hurok ezen szakasza kettévágja a táblázatot ami felett biztosan nem lehet olyan mező, amelyet még nem látogattunk meg, mert akkor a vonal később nem tudna egy nagy hurokká összezárulni. Így a hurok csak a tábla szélein haladhat, ahogyan az a lenti ábrán látható.
A hurok mentén felváltva követik egymást a pöttyös és az üres szürke mezők, így a pöttyös szürke mezők 14 lépésenként helyezkednek el a hurkon, és közöttük mindig a 7. mező lesz még (üres) szürke. A 4 pöttyös szürke mező a táblázatban mind elég lent helyezkedik el, ráadásul inkább balra. De akkor hogyan jut el a hurok a jobb felső sarokba? Ha alaposabban megvizsgáljuk, láthatjuk, hogy ez csak úgy lehetséges, ha a hurokkal a jobb alsó pöttyös szürke mezőből a lehető legrövidebb úton (ami persze nem egyértelmű) felmegyünk a jobb felső sarokba, majd onnan a lehető legrövidebb úton eljutunk a legközelebbi pöttyös szürke mezőig, mivel még így is 14 lépést teszünk meg két pöttyös szürke mező között. Ráadásul közben itt sem zárhatunk el a hurok e szakaszától jobbra olyan mezőt, amelyet még nem látogattunk meg, így a jobb alsó pöttyös szürke mező és a jobb felső sarok között csak az alábbi összekötés lehetséges. Ennek segítségével ráadásul egy újabb szürke mezőt is be tudunk színezni.
Folytassuk most a jobb oldali hurokrészletnek a jobb felső végét, hiszen tudjuk, hogy onnan a lehető legrövidebb úton (azaz további 5 lépéssel, csak balra és lefelé haladva) el kell jutnia a középen lévő pöttyös szürke mezőhöz. Nem léphetünk kettőt balra, mert akkor összekapcsolódnánk a hurok másik, már beazonosított darabjával. Az sem lehet, hogy egyet balra, majd lefelé lépünk, mert akkor az innen jobbra lévő mező zsákutca lenne, ahová a hurokkal már nem tudnánk eljutni. Tehát csak lefelé mehetünk. Emellett rajzoljuk be a huroknak azokat a darabjait is, amelyeket az eddigiek egyszerűen meghatároznak.
Ha folytatjuk a jobb felső darabot, akkor annak még 4 lépéssel el kell jutnia a pöttyös szürke mezőhöz, majd onnan 5 lépéssel bele kell csatlakoznia a másik nagyobb hurokdarabba. Meggondolhatjuk, hogy ezt csak egyféleképpen tudjuk megtenni úgy, hogy közben egyetlen zsákutcát se hagyjunk.
Az egyértelműen folytatható részek berajzolásával több lépésben eljuthatunk a megoldásig.
Egy hasonló rejtvény (Halak a tóban) tavaly is szerepelt, ha még nem gondolkoztál rajta, azt is kipróbálhatod.
Sajnáljuk, ha félreérhető volt a megfogalmazás. Mi úgy gondoltuk, hogy a “minden mezőn pontosan egyszer megy át” rész fejezi ki ezt. Reméljük a további feladatokon gondolkodás örömtelibb lesz:)
Továbbra is gondom a Bogozd ki! feladat szövege. Nem világos számomra ugyanis, hogy a huroknak a táblázat összes mezöjén át kell haladnia. Mi az a feladat szövegében, ami erre utal? Értelmezésem szerint a feltételek a hurok mezöire vonatkoznak, ami nem feltétlenül megy át a táblázat összes mezején.
Sajnáljuk, ha félreérhető volt a megfogalmazás. Mi úgy gondoltuk, hogy a “minden mezőn pontosan egyszer megy át” rész fejezi ki ezt. Reméljük a további feladatokon gondolkodás örömtelibb lesz:)
Továbbra is gondom a Bogozd ki! feladat szövege. Nem világos számomra ugyanis, hogy a huroknak a táblázat összes mezöjén át kell haladnia. Mi az a feladat szövegében, ami erre utal? Értelmezésem szerint a feltételek a hurok mezöire vonatkoznak, ami nem feltétlenül megy át a táblázat összes mezején.