Az utolsó hét közepén vagyunk, még pénteken és hétfőn fogunk levelet írni nektek, hétfőn már csak az előző napi feladatok megoldásait küldjük. Idén is szívesen küldünk emléklapot azoknak, akik szeretnének. Ehhez kérlek töltsétek ki ezt a kérdőívet. A jelvények leírását itt találjátok. Jó gondolkodást kívánunk a hátralévő napokban!
Két játékos játszik egymás ellen. Az első játékos leír egy betűt, majd minden lépésben egy új betűt kell ennek a végére írni, hogy egy értelmes és 3000-nél kisebb római számot kapjunk (használható karakterek: M, D, C, L, X, V, I). Felváltva írnak betűket, az veszít, aki már nem tudja érvényesen folytatni a számot. Cél, hogy nyerj ebben a játékban.
A játékot online is kipróbálhatod, de javasoljuk, hogy ezt inkább akkor tedd, ha a stratégiádat szeretnéd ellenőrizni. Szerintünk mások ellen érdekes igazán játszani, így ha találsz partnert, akkor javasoljuk, hogy próbáljátok ki együtt a játékot.
Három testvér kapott egy tábla csokit. A legidősebb testvér letört magának két sort. A középső testvér a megmaradt csokiból négy oszlopot evett meg, végül a legkisebb testvér három sort vett el.
Hány kocka maradt meg a csokiból, ha mindenkinek ugyanannyi csoki jutott?
Megoldás
Tegyük fel, hogy az egy sorban lévő kockák száma x. A legidősebb testvér két sort kapott, míg a legkisebb hármat. Tehát a legidősebb 2x kockát kapott, a legkisebb pedig – mivel közben négy oszlopot elvett a középső – 3·(x-4) kockát. Tehát 2x = 3·(x-4), vagyis x = 12, így a két testvér 24-24 kockát vett el.
A középső testvérnek négy oszlop jutott, vagyis egy oszlopban hat kocka volt, amikor elvette ezeket. Eddigre két sor már hiányzott belőle így az oszlopok eredetileg nyolc kockából álltak. Tehát a csoki 12×8-as volt, amiből megettek 3·24=72 kockát, vagyis 24 kocka maradt meg.
(Szűcs Gábor)
Ugyanannyi ugyanolyan (**)
Töltsd ki az alábbi 6 × 6-os táblázatot pozitív egész számokkal úgy, hogy minden n számra, ha szerepel n a táblázatban, akkor pontosan n darab n-es mező legyen, és ezen mezők legyenek összefüggőek (azaz bármelyikből bármelyikbe el lehessen jutni oldalszomszédos n-es mezőkön lépkedve). Továbbá minden vastaggal körülkerített részben legyen ugyanannyi a számok összege.
Megoldás
A Bogozd ki feladathoz hasonlóan itt is bajban vagyunk: már egyetlen szám beírása sem könnyű. Ehelyett próbáljuk meg kitalálni, milyen számok fognak egyáltalán szerepelni a kitöltött rejtvényben. Mit tudunk kiolvasni abból a furcsa feltételből, hogy ha n szerepel, akkor pontosan n-szer szerepel? Az legalábbis azonnal következik, hogy mivel a táblázat összesen 36 mezőből áll, a szereplő számok összegének 36-nak kell lennie. A másik fontos észrevétel, hogy mivel a táblázat 8 régióra van osztva, és mindegyikben ugyanannyinak kell lennie az összegnek, ezért a táblázatban szereplő összes szám összege biztosan osztható 8-cal.
Első ránézésre ez nem tűnik olyasminek, amiből tovább tudnánk lépni, ám valójában kulcsfontosságú információról van szó. Ha ugyanis n szerepel a táblázatban, akkor pontosan n-szer fordul elő, vagyis az n-esek összege n². Így el is jutunk ahhoz a meglepő felismeréshez, hogy ennek a rejtvénynek a megfejtéséhez egy kis számelméleti tudásra is szükség lesz: mégpedig arra, hogy milyen maradékot adhat egy négyzetszám 8-cal osztva.
Hogyan tudnánk meghatározni, milyen osztási maradékot adhatnak a négyzetszámok 8-cal osztva? A mi esetünkben nem lehetnek túl nagy számok a táblázatban, ezért akár kézzel is végignézhetnénk a lehetőségeket. Valójában azonban az az érdekes, hogy ezt a kérdést sokkal általánosabban is meg tudjuk válaszolni. Kiderül, hogy egy négyzetszám 8-cal vett osztási maradéka (sőt, ez 8 helyett bármely más szám esetén is igaz) csak attól függ, hogy maga a szám milyen maradékot ad 8-cal osztva.
Ezt talán úgy a legkönnyebb precízen megindokolni, hogy ha egy szám 8-cal osztva m maradékot ad, ahol m egy 0 és 7 közötti szám, akkor felírható 8k+m alakban, ahol k egy egész szám. Ekkor
(8k+m)²=64k²+2 · m · 8k+m².
Ebben az összegben az első két tag biztosan osztható 8-cal, ezért a (8k+m)² szám 8-cal vett maradéka megegyezik az m² szám 8-cal vett maradékával. Másképpen mondva: ha két szám ugyanazt a maradékot adja 8-cal osztva, akkor a négyzetük is ugyanazt a maradékot adja.
Ezek alapján elég a 0-tól 7-ig terjedő eseteket végignézni, hogy a következő konklúzióra jussunk: minden páratlan szám négyzete 1 maradékot ad 8-cal osztva. A páros számok közül pedig azoknak, amelyek oszthatók 4-gyel, a négyzete osztható 8-cal, míg azoknak, amelyek nem oszthatók 4-gyel, a négyzete 4 maradékot ad 8-cal osztva.
Térjünk vissza a feladatra. Tudjuk, hogy a táblázatban szerepelni fog 2-es, 3-as és 6-os; ezek négyzeteinek 8-cal vett osztási maradéka 4, 1 és 4, vagyis az összegük 1 maradékot ad 8-cal osztva. Olyan további számokat keresünk tehát, amelyek négyzeteinek összege 7 maradékot ad 8-cal osztva.
Ha csak páratlan számok lennének még hátra, akkor ahogy láttuk, a négyzetük mindig 1 maradékot adna, így legalább 7 további számra szükség lenne. Ebben az esetben azonban a számok összege már biztosan nagyobb lenne 36-nál. A másik lehetőség az, hogy van egy 4-gyel osztva 2 maradékot adó szám (amelynek a négyzete 4 maradékot ad 8-cal osztva) és mellette legalább három további páratlan szám. Könnyű meggondolni, hogy ahhoz, hogy az összeg 36 legyen, ez az eset is csak úgy lehetséges, ha a lehető legkisebb megfelelő páros számot, a 10-et választjuk, a páratlan számok közül pedig az 1-et, az 5-öt és a 9-et, és ezen kívül már semmilyen más szám nem kerül a táblázatba.
Összefoglalva, a táblázatban biztosan az 1, 2, 3, 5, 6, 9 és 10 számok fognak szerepelni. Ezek négyzeteinek összege 256, ezért minden régióban 256/8=32 lesz a számok összege. Ebből már el is tudunk indulni: abban a régióban, ahol a 2-es adott, csak 3 darab 10-es kerülhet mellé, hogy az összeg 32 legyen. Mivel a 10-esek összefüggőek, így könnyen meggondolható, hogy sem a bal felső, sem a középső nagy régióba nem kerülhet egynél több 10-es, mert akkor ott már nem jönne ki a megfelelő összeg. Így a 10-esek csak a 2-es alatti részen nyúlhatnak át, és a jobb alsó régióba is legalább két darab 10-es kerül majd. Ekkor a jobb alsó régió csak úgy jöhet ki, ha a két 10-es mellett egy 3-as és egy 9-es van benne, ami egyértelműen meghatározza a 3-asokat is.
Ekkor a másik, négy mezőből álló régióban, ahová a 3-as került, szintén csak a 3, 9, 10, 10 elrendezés jöhet szóba. A 9-esek összefüggőségét figyelembe véve már nem nehéz meggondolni, hogy a további két, egyenként négy mezőből álló régióban három darab 9-es és egy 5-ös lesz. Innentől pedig már különösebb új ötlet nélkül be lehet fejezni a kitöltést.
