Az Egy forintból két forint kampányunk során eddig 1,5 millió forint gyűlt össze, mindenkinek köszönjük a támogatását. Amennyiben valakinek van lehetősége, és szívesen támogatja az Alapítvány diákoknak szóló programjait, azt ezúton is nagyon köszönjük.
Örömmel osztjuk meg Földvári Gergely egy kérdését, ha van kedvetek, akkor a mai feladatok mellett ezen is gondolkodhattok.
Osztozkodás újra
A második heti feladat után újra egy csokin kell osztozkodni.
Három testvér kapott egy tábla csokit. A legidősebb testvér letört magának két sort. A középső testvér a megmaradt csokiból négy oszlopot evett meg, végül a legkisebb testvér három sort vett el.
Hány kocka maradt meg a csokiból, ha mindenkinek ugyanannyi csoki jutott?
Töltsd ki az alábbi 6 × 6-os táblázatot pozitív egész számokkal úgy, hogy minden n számra, ha szerepel n a táblázatban, akkor pontosan n darab n-es mező legyen, és ezen mezők legyenek összefüggőek (azaz bármelyikből bármelyikbe el lehessen jutni oldalszomszédos n-es mezőkön lépkedve). Továbbá minden vastaggal körülkerített részben legyen ugyanannyi a számok összege.
Adj meg 8 pontot a síkon úgy, hogy minél több egyenlő szárú, derékszögű háromszöget lehessen belőlük alkotni! (A háromszögek csúcsai az általad megadott pontokon lehetnek.)
Legfeljebb hány háromszöget tudsz megadni a 8 pont megfelelő elrendezésével?
Megoldás
8 ponton legfeljebb 20 ilyen háromszöget tudunk kifeszíteni, erre többféle jó elrendezést is találhatunk:
Annak bizonyítása, hogy ennél több megfelelő háromszöget nem lehet kifeszíteni, kifejezetten nehéz.
Mese:
Az 1970-es években Erdős Pál és George Purdy tették fel a kérdést: mennyi a sík n pontja által meghatározható hasonló alakzatok maximális száma? Ennek egy izgalmas részproblémája, amikor egyenlő szárú derékszögű háromszögekből szeretnénk minél többet kapni a pontok megfelelő elrendezésével. A kérdés egyik érdekessége, hogy 9 pontig tisztázott, mennyi a legtöbb elérhető háromszög, 10 ponttól a kérdés azonban máig is megoldatlan problémákat tartogat. 9 pont esetén legfeljebb 28 háromszöget lehet kapni. A pontok megfelelő (egyetlen!) elrendezését nem is nagyon nehéz megtalálni.😊 10 pontra találtak már 35 egyenlő szárú derékszögű háromszöget adó elrendezést, de máig kutatják, hogy létezik-e ennél jobb.
Általánosságban nyitott kérdés a minél kisebb felső korlát keresése n pont esetén. Annyit már bebizonyítottak, hogy a maximum nem haladhatja meg a ~ 0,66 n·n értéket.
(Szenyovszky Judit)
Banditák és seriffek a prérin
Tízen állnak a sík prérin, mindegyikük seriff vagy bandita. A seriffek mindig igazat mondanak, a banditák mindig hazudnak. Mindannyian a következőt állítják: „A 3 méteres körzetemben, magamat is beleértve, több bandita van, mint seriff.”
Mennyi lehet a seriffek száma a prérin?
Megoldás
A banditák állítása tehát azt jelenti, hogy a 3 méteres körzetükben, magukat is beleértve, legalább annyi seriff van, mint bandita. Ezek alapján rögtön világos, hogy legalább két banditának és legalább egy seriffnek kell lennie.
Mondjuk azt, hogy két ember közel van egymáshoz, ha egymástól legfeljebb 3 méterre vannak. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor egy seriff van és kilenc bandita. Ez csak úgy lehetne, hogy minden bandita közel van az egyetlen seriffhez, de nincs hozzá közel másik bandita. Ez azonban nem lehetséges, ami például onnan látható, hogy az alábbi ábrán valamelyik régióba legalább két banditának kell esnie, és ők biztosan közel vannak egymáshoz. (Hasonló gondolatok szerepeltek a tavalyi Focipálya feladatban is.)
Ehhez hasonlóan az is könnyen látható, hogy legalább három banditának kell lennie. Ugyanis ha két bandita lenne, akkor minden seriffnek közel kellene lennie mindkét banditához, ám ekkor a fenti gondolatmenet alapján lenne két seriff, akik egymáshoz is közel lennének, ami már nem lehetséges.
A továbbiakban megmutatjuk, hogy az összes többi eset lehetséges. Ezekre számos különböző konstrukció létezik, mi most egyet mutatunk minden esetre. Ehhez, mint látni fogjuk, az ilyen helyzetekben a valóságban sem meglepő szituáció adja a kulcsot, hogy a nagyobb csoport körbeveszi a kisebbet. Ugyanis ha például két seriffet körbevesz nyolc bandita úgy, hogy négy irányból kettő-kettő közelíti meg a szorult helyzetben lévő seriffeket, akkor lehetséges, hogy a seriffek mind a nyolc banditához közel vannak, ám a banditák csak a párjukhoz vannak közel a seriffeken kívül. Ez tehát egy megfelelő konstrukció két seriffel és nyolc banditával.
Hasonló módon, ha három vagy négy seriff van, akkor is körbe tudják venni őket a banditák úgy, hogy teljesüljenek a feladat feltételei.
Azonban amint legalább öt seriff van a színtéren, fordulnak az erőviszonyok. Ekkor úgy kapunk megfelelő konstrukciókat, hogy a banditák szorulnak a kör közepére, és a seriffek kerítik be őket.
Ezzel minden esetben megmutattuk, hogy nem lehetséges, vagy adtunk egy konstrukciót, tehát 2, 3, 4, 5, 6 vagy 7 lehet a seriffek száma a prérin.
