Hétfőn a projekt történetének első rossz megoldását közöltük, a Niki, Viki, Győző feladat megoldása ugyanis nem jó. Ez szándékos volt, ugyanis a hiba egyáltalán nem nyilvánvaló, erről bővebben írunk a levél végén. Ha van kedvetek, akkor ti magatok is megpróbálhatjátok megkeresni a hibát.
Pontok és háromszögek (*)
Adj meg 8 pontot a síkon úgy, hogy minél több egyenlő szárú, derékszögű háromszöget lehessen belőlük alkotni! (A háromszögek csúcsai az általad megadott pontokon lehetnek.)
Legfeljebb hány háromszöget tudsz megadni a 8 pont megfelelő elrendezésével?
Tízen állnak a sík prérin, mindegyikük seriff vagy bandita. A seriffek mindig igazat mondanak, a banditák mindig hazudnak. Mindannyian a következőt állítják: „A 3 méteres körzetemben, magamat is beleértve, több bandita van, mint seriff.”
Hat gyerek egyesével ül rá egy libikókára, és azt tapasztalják, hogy a libikóka minden ráülésnél átbillen. Tudjuk, hogy a gyerekek testsúlyai 4, 5, 9, 10, 11 és 20 kg. Keressük meg azt a sorrendet, ahol a végén a lehető legkisebb a súlykülönbség a libikóka két felén ülő gyerekek között.
Megoldás
Legyen a végén a libikóka könnyebbik fele a bal oldala. A gyerekek bármilyen sorrendben is ülnek rá a libikókára, biztosan a bal oldalára kell először ülniük, hiszen a végén – amikor mindenki ráült – a libikóka a jobb oldalára billen.
A gyerekek összsúlya 4 + 5 + 9 + 10 + 11 + 20 = 59 kg. A libikóka bal oldalán ülő gyerekek összsúlya legfeljebb 29 kg lehet, a maximum csak egyféleképpen érhető el: 29 = 20 + 4 + 5. Ha a bal oldalra ülők között a sorrend 4, 5, 20 vagy 5, 4, 20, akkor másodszorra nem tudnák átbillenteni a libikókát (a jobb oldalra ülő gyerek legalább 9 kg). Vagyis a 20 kg-os gyerek nem lehet utolsó. Viszont ekkor a jobb oldalra ülő két gyerek együtt is könnyebb lenne, mint a bal oldali kettő (20 + 4 > 10 + 11). Tehát a (4, 5, 20), (9, 10, 11) szétosztás nem megfelelő.
Így a 20 kg-os gyerek mellé kerülő gyerekek súlya nagyobb, mint 9 kg, tehát a 20 kg-os gyerek mindenképpen a nehezebb, vagyis a jobb oldalra kerül. A jobb oldaliak akkor lesznek a legkönnyebbek, ha a (5, 10, 11), (4, 9, 20) szétosztást nézzük. A jobb oldalra ülők első két helyén nem lehet a 4, 9 (hiszen 5 + 10 > 4 + 9), és a 9, 20 sem (hiszen 5 + 10 + 11 < 9 + 20). Tehát az első két helyen csak a 4 és 20 lehet. A 4 nem lehet első, mert akkor nem tudná átbillenteni a libikókát, így az egyetlen lehetséges sorrendjük a 20, 4, 9.
A másik oldalon az első két gyereknek több mint 20 kilónak kell lennie, így összesen két sorrend lehetséges: 10, 20, 11, 4, 5, 9, illetve 11, 20, 10, 4, 5, 9. A súlykülönbség mindkét esetben 7 kg, és a fentiek alapján ez az elérhető legkisebb különbség.
(Szűcs Gábor)
Iroda
Az ábrán egy iroda alaprajza látható. A pontok oszlopokat jelölnek, melyek segítségével 25 egyforma négyzet alakú szobára lehet felosztani az irodát. Minden ilyen szobában egy ember dolgozik. Az irodában pár szomszédos szoba közé falakat húztak a szaggatott vonalak mentén. Egy szobában ülő dolgozó pontosan azokat a munkatársait látja, akik az ábrán vele egy sorban vagy oszlopban vannak, és nincs köztük fal. A középső szoba kivételével ráírtuk a szobákra, hogy az ott ülő ember hány munkatársát látja. Ezenkívül azt is tudjuk, hogy az irodában bármelyik szobából bármelyik másik szobába át lehet sétálni. Hogyan helyezkednek el a falak az irodában?
Megoldás
Ha a bal alsó szobában lévő ember jobbra látna ki, akkor a tőle jobbra lévő másik emberrel nem tudnának más emberhez eljutni. Így a bal alsó sarokban lévő ember a felette lévőt fogja látni, aki felett kell lennie egy falnak, hogy a sarokban lévő ember csak egy másik embert lásson. Így a 4-es sorában tudjuk, hogy még három másik embert kell látnia. Az ábrán x-szel jelöljük azokat a részeket, ahová nem fog fal kerülni.
A jobb alsó 4-es vízszintesen legfeljebb három embert láthat, így a felette lévő 3-ast látni fogja. Mivel ez a 3-as vízszintesen nem lát senkit, ezért függőlegesen még a felette lévő két embert is látnia kell, így a jobb felső 2-es alatt kell a falnak lennie. Ezek alapján a jobb oldali oszlopban mindenkiről tudjuk, hogy hány embert lát vízszintesen.
Most a bal felső sarokban lévő 3-as csak úgy láthat három embert, ha látja azt a három 2-est, akit most is lát. Ezzel a többi 2-esről is meg tudjuk határozni, hogy meddig látnak el a másik irányban.
Tovább rajzolva azt, hogy hol lehetnek és hol nem lehetnek falak, eljutunk a megoldásig:
A középső ember egy másikat lát vízszintes, egyet pedig függőleges irányban, így a kérdésre a válasz 2.
(Nagy Kartal)
Niki, Viki, Győző újra
Szemfülesebb olvasóink észrevehették, hogy a Niki, Viki, Győző feladat megoldása egy kérdőjellel végződött. Ez nem elírás volt, szándékosan fejeztük be így. Ugyan a megoldás teljesen korrektnek tűnik, azonban felmerülnek kényelmetlen kérdések.
Elsőként képzeljük el, hogy B és C elolvassa a megoldást, és konstatálják, hogy ezek alapján nekik a 2. és 3. hely jut (célszám a 100). Mindkettejüknek jobb lenne ehelyett, ha B első és C második lenne. Ezt el is érhetik, ha összefognak. Hiszen ha összehangolják a lépéseiket, akkor könnyen ki tudják játszani A-t, és el tudják érni, hogy mindenképpen B fejezze be a játékot (ennek meggondolását az Olvasóra bízzuk).
Ez pech.
Melyik érvelés a helyes? Ha valamelyik hibás, akkor hol van benne a hiba?
Ezen a ponton teszünk egy rövid történeti kitérőt. Ezen a feladaton diákkoromban gondolkoztam, meg is találtam rá az eredetileg leírt megoldást. Pár évvel később ki is tűztük egy versenyen, a diákok meg is oldották (az eredetileg leírt megoldással), meg is kapták rá a maximális pontszámot. Aztán a barátaimmal beszéltünk erről a feladatról, és ekkor merült fel az összefogás problémája. A pontos beszélgetésre már nem emlékszem, de tanácstalanok voltunk. Biztatjuk az Olvasót, hogy próbáljon meg igazságot tenni.
Talán ott hibáztunk, hogy megengedtük az összebeszélés lehetőségét. Ha ezt kizárjuk, akkor tényleg nem működik a második érvelés, látszólag nincs gond. Ez ugyan igaz, de nem igazán oldja meg a problémánkat. Hiszen B és C összebeszélés nélkül is gondolhat arra, hogy nekik megéri kockáztatni az 1. és 2. helyezésért, és mindenféle kommunikáció nélkül is dönthetnek úgy, hogy az összefogós stratégia alapján mondanak számokat. Miért ne választanák ezt a stratégiát?
Tehát az első érvelésünk megkérdőjelezése továbbra is érvényes. Érdemes meggondolni, hogy a feladatbeli feltételt (mindhárman okosak) tulajdonképpen arra használtuk, hogy előírjuk a játékosoknak, hogy hogyan gondolkozzanak. Ezt azonban nem tehetjük meg, a feladat jelenlegi formájában nem is tudunk értelmesen beszélni 3 játékos nyerő stratégiájáról.
Ha van kedvetek, akkor írjátok meg kommentben, hogy mit gondoltok. Reméljük, hogy az eszmecsere végén kialakul egy konszenzus is.
Ez az összefogósdi gyanús. Ha A ragaszkodik a győztes stratégiához, a vesztes szerepben lévő C nem tud mit tenni. Egyedül B térhet el elsőre úgy, hogy lemond a biztos másodikról úgy, hogy ő kerül vesztes szerepbe. Ekkor persze még kerülhetne nyertes szerepbe, de csak ha C úgy dönt, hogy önként lemond a B által felkínált nyerő helyzetéről. De miért tenné? :-)
Segítségek a pénteki feladatokhoz (a segítségeket erre a kommentre írom meg válaszul):
Ez az összefogósdi gyanús. Ha A ragaszkodik a győztes stratégiához, a vesztes szerepben lévő C nem tud mit tenni. Egyedül B térhet el elsőre úgy, hogy lemond a biztos másodikról úgy, hogy ő kerül vesztes szerepbe. Ekkor persze még kerülhetne nyertes szerepbe, de csak ha C úgy dönt, hogy önként lemond a B által felkínált nyerő helyzetéről. De miért tenné? :-)