Aki szeret hullócsillagokat nézni, most megteheti, a napokban látható leginkább az Éta Aquaridák meteorraj. Ugyan meteorokkal nem készültünk, de az első feladatban egy csillagászati kérdést teszünk fel.
Föld–Mars-távolság becslése
„Az évtized legszebb látványa lesz: nagyon közel kerül hozzánk az egyik bolygó.”
A fenti mondatot olvashattuk a Marsról 2022-ben. De vajon mit is jelent a nagyon közel? Atlaszokban, interneten könnyen megtaláljuk a naprendszerben lévő bolygók távolságát a Naptól, arra viszont nehezebben találunk adatot, hogy az egyes bolygók milyen messze vannak a Földtől. Így a mostani becslésünket a Naptól való távolság alapján fogjuk elkészíteni.
Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy a Föld és a Mars az ellipszis alakú pályájuk során mennyire kerül közel és mennyire távolodik el a Naptól.
Ezeket az adatokat használva milyen alsó és felső becslést tudunk mondani a Föld és a Mars távolságára? (A feladat során a bolygókat pontszerűnek tekintjük.
Az 1, 2, 3, …, 16 számokból képezzünk 8 törtet úgy, hogy minden számot pontosan egyszer használunk (vagy számlálóként, vagy nevezőként). Lehet-e a kapott 8 tört összege egész szám?
Egy vitorlásversenyen heten indulnak, Te és hat ellenfeled. A verseny 3 futamból áll, egy versenyző végső pontszámát a futamonkénti helyezéseinek összege adja. (Tehát ha két futamban 2., egyben pedig a 4. helyen végzett egy versenyző, akkor a végső pontszáma 2+2+4=8.) Egy futamon belül nem lehet holtverseny és az nyeri az összetett versenyt, akinek végső pontszáma a legkisebb.
Azonos pontszámot elérő versenyzők között a legrosszabb helyezés rangsorol. Ez azt jelenti, hogy ha két versenyzőnek azonos a végső pontszáma, akkor az végez előrébb, akinek a legrosszabb helyezése jobb. Ha ez is azonos, akkor a második legrosszabb futamukban elért eredményük dönt. Ha mindhárom helyezésük azonos, akkor sorsolnak.
A verseny lezajlott, te minden futamban harmadik lettél. A lehető legjobb esetben hányadik lehetsz az összetettben?
Mi a helyzet akkor, ha mindháromszor negyedik helyet értél el?
Megoldás
A győzelem is elérhető összesítésben három darab 3. hellyel. Ha a feladat megoldása során erre az eredményre eddig nem számítottál vagy csak nem sikerült ennek megfelelően elosztani a futameredményeket, érdemes lehet ezen információ birtokában újra megpróbálni, még mielőtt a megoldást elolvasnád.
Legyenek a versenyzők: Te, Beni, Csenge, Dani, Eszter, Frigyes és Gábor. Ügyes próbálkozással is el lehet érni a megfelelő eredményt, de nézzük meg, hogy hogyan lehet kicsit előre gondolkodni a helyezések (ezáltal a pontszámok) megfelelő elosztásához.
Mivel minden futamban kiosztásra kerül 1-7. minden helyezés pontosan egyszer, ezért a végső pontszámok összege 3 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 84. Ebből 3 + 3 + 3 = 9 pont a Tiéd, a maradék 75 pontot pedig igyekezzünk elosztani úgy, hogy mindenki másnak legalább 10 pontja legyen, hiszen akkor biztosan Te nyered az összetettet. Ez reálisnak tűnik, hogy sikerülhet, hisz 6 · 10 = 60 < 75. Valóban meg is valósítható például az alábbi módon:
Így Beni, Csenge és Dani, valamint Eszter, Frigyes és Gábor között is a sorsolás fog dönteni végül, de gratulálunk, az első hely biztosan a Tiéd!
Szerintünk lényegesen meglepőbb, de három darab 4. helyezéssel is nyerhetsz összesítésben.
Ismét azt javasoljuk, hogy a megoldás továbbolvasása előtt próbáld meg elérni ezt, különösen akkor, ha eddig erre az eredményre nem számítottál. Hasznos az előzőekben ismertetett kis számoláshoz hasonlót elvégezni, az segíthet itt is.
A pontszámok összegének most is 84-nek kell lennie, amiből a Te pontszámod 4 + 4 + 4 = 12 pont, marad a többieknek összesen 72. Ha rajtad kívül mindenkinek legalább 13 pontot akarnánk osztani, az nem sikerülne, mert 6 · 13 = 78 > 72. Viszont 6 · 12 = 72 éppen, tehát az még előfordulhat, hogy mindannyiuknak 12-12 pontja legyen. De hát neked is ennyi a pontszámod! Elsőre kicsit zavaró lehet, hogy mind a hét pontszám azonos, de szerencsére van szabály arra is, hogy hogyan kell rangsorolni azonos pontszámú versenyzők között. Először próbáljunk meg minden versenyzőnek 12 pontot osztani, aztán meglátjuk, ki nyer így. Ez például megfelelő, de van más jó elosztás is:
Ebben az esetben Beninek, Csengének és Daninak a legrosszabb futameredménye 6. hely, Eszter, Frigyes és Gábor esetében pedig 7. hely, ezekkel szemben a Te (legrosszabb) 4. helyezésed jobb (köztük pedig hármasával ismét a sorsolás dönt, mert nem csak a pontszámaik egyenlőek, mindhárom helyezésük is megegyezik). Gratulálunk, ismét te nyerted a versenyt!
Érdekes, hogy ha máshogy osztottad el a pontokat úgy, hogy mindenkinek 12 legyen az összpontszáma, akkor is egyértelműen te nyerted a versenyt. Miért lehet ez? Mivel 4 vagy annál kisebb pontszámokból 12 pontot nem lehet elérni a 4 + 4 + 4 -en kívül, ezért az összes többi versenyzőnek biztosan lesz legalább egy 4 pontnál több pontot érő futama, így tehát valóban biztosan te nyersz ilyen esetben.
(Tassyné Berta Andrea)
Niki, Viki, Győző
Két játékossal szerepelt ez a feladat, most nagyon hasonlót fogunk kérdezni, de kettő helyett három játékossal.
Niki, Viki és Győző felváltva mondanak számokat 1-től 10-ig. Niki kezd, aztán Viki, Győző sorrendben haladnak. Az nyer, akinél az összeg eléri a 100-at. Az lesz a második, aki a győztes után következett volna. Kinek van nyerő stratégiája? Feltesszük, hogy mindhárman okosak, és mindegyikük az elérhető legjobb helyezésre törekszik.
Megoldás
Az egyszerűség kedvéért jelöljük a három játékost egy-egy betűvel (A: Niki, B: Viki, C: Győző). Vizsgáljuk meg először a játékot kisebb számokra, ahol a célszám kisebb.
Ha a célszám maximum 10, akkor könnyű dolgunk van, hiszen A nyer:
1: A
2: A
...
10: A
Ha a célszám 11, akkor mindenképpen B nyer, hiszen A lépését kiegészítheti 11-re.
11: B
Mi a helyzet 12-nél? Mire C sorra kerül, addigra a számok összege legalább kettő, tehát ő mindenképpen be tudja fejezni a játékot. Így A biztosan nem nyerhet, tehát az első számot úgy érdemes megválasztania, hogy a második helyet elérje. Ezt meg is tudja tenni, ha 1-et mond. Ekkor B nem tud nyerni, biztosan C nyer.
12: C
Nézzük a következő célszámot, a 13-at. Ha A 1-et mond, akkor B-t hozza pontosan abba a helyzetbe, mint amilyenben ő volt 12-nél. Az ott már végiggondoltak miatt ebben az esetben A tud nyerni. Tehát ha A így kezd, akkor nyer.
13: A
Ha a célszámot növeljük, akkor egészen addig A nyer, amíg a célig hátra lévő számot 12-re tudja csökkenteni. Ez 22-ig működik is:
14: A
15: A
...
22: A
Ha a célszám 23, akkor A csak úgy tud kezdeni, hogy B-t hozza nyerő helyzetbe, tehát ekkor B mindenképpen nyer. Ha a célszám 24, akkor A saját maga nem nyerhet, de 1-et mondva C-t hozza nyerő helyzetbe, ezzel elérheti a második helyet (vegyük észre, hogy most ugyanúgy érveltünk, mint a 11 és 12 esetben).
23: B
24: C
A további számoknál is követhetjük ezt a logikát. Így láthatjuk, hogy a győztes személye 12-es ciklusokban váltakozik (a ciklus: A, A, …, A, B, C). Ez alapján 100-nál A (vagyis Niki) nyer, ehhez 4-gyel kell kezdenie.
Úgy tűnik, hogy ezzel teljesen tisztáztuk a feladatot. Egy kérdés azonban maradt, mi a helyzet, ha a fentieket Viki és Győző is végiggondolja?
