Örülünk a nagyon sokféle konstrukciónak, amiket küldtetek a szigetes feladatokra, ezeket megtaláljátok a feladat megoldásánál.
Az utolsó hét feladatai érkeznek, pénteken már csak megoldásokat fogunk küldeni, új feladatokat nem. Eddig azt figyeltük meg, hogy a páratlan hetek népszerűbbek voltak a köreitekben, mint a párosak, kíváncsiak vagyunk, hogy ez az ötödik hétre is igaz lesz-e.
Káposztaföld (*)
Két nyúl közösen termeszti káposztáit egy téglalap alakú, bekerített földrészleten. Az ábrán a két nyúl a hozzájuk tartozó nyúlüreget jelöli. A káposzták szabályos rendben, egy négyzetrács rácspontjaiban növekednek. A köztük lévő földet porhanyósra ásták-gereblyézték, ezért szigorúan tartják magukat ahhoz, hogy ugrálva közlekednek, egy ugrással mindig az egyik legközelebbi káposztához jutva, vagyis átlósan nem ugorhatnak. A fekete szaggatott útvonal például egy szabályos 5-ugrásos útvonal egy jól fejlett káposztáig, de ugyanide sokféleképpen eljuthat a fekete nyúl, akár a sárga, 3-ugrásos úton is.
Hamarosan beérnek a káposzták. Hagyományaikhoz híven azokat a káposztákat, amelyek mindkét nyúlüregtől ugyanannyi ugrásnyira vannak, nemes célokra ajándékozzák. Minden káposztához a lehető legkevesebb ugrást számolják. Például az ábrán körrel jelzett káposzta a fekete nyúl üregétől 3, a barnáétól 5 ugrásnyira van.
Régóta tudták, hogy Téglavár falu határában valamikor egy vár állott (most kőhalom). Egy kapitány levelében megemlíti, hogy „a földszintes négyszegletű épület téglalap alaprajzú, és belsejében mindössze hat négyzet alakú helyiség van”. A közelmúltban a régészeti kutatás is eredménnyel járt: sikerült a falak alapjainak bizonyos részeit feltárni, annyit, amennyi az ásatási jegyzőkönyv mellékelt vázlatán látható. A maradványokból egy helyiség teljes egészében kirajzolódik, falai 10 láb hosszúak – a középvonaluk mentén mérve. Minthogy a falvastagság mindenütt nagyjából azonos, tekintsünk el tőle, a falakat a középvonalaikkal adjuk meg.
Rajzoljuk meg a vár teljes alaprajzát, és határozzuk meg (lábban) a méreteit Hány láb a vár rövidebbik oldalának hossza?
Megoldás
Mivel 6, négyzet alakú helyiségből állt hajdanán a vár, az ásatási jegyzőkönyv vázlatán 1 teljesen, 5 pedig részben látszik, tehát olyan helyiség nincs, amiből nem látunk semmit az ábrán. Ez alapján ki tudjuk egészíteni a várról készült vázlatot. Használjuk az alábbi ábrát:
Az A és E helyiség egyforma méretű, hisz van egy közös oldaluk. Az A jelű, sárga helyiségtől indulva járjuk körbe a legkisebb helyiséget (F-et). A B helyiség oldala 10 lábbal hosszabb az A helyiség oldalánál egy részben közös függőleges fal miatt. Hasonlóképp a B-nél szintén 10 lábbal hosszabb a C helyiség (egy részben közös vízszintes fal miatt). Ennél pedig további 10 lábbal hosszabb a D oldala. Vagyis a D helyiség oldala összesen 30 lábbal nagyobb, mint a bal alsó, E helyiségé. Ezt a többletet a piros szakasz mutatja a fenti ábrán.
Ezért az A helyiség oldala 30+10 = 40 láb, a további helyiségek oldalai rendre 50, 60, 70 láb, ahogyan a következő ábrán látható.
A vár rövidebbik oldalának hossza tehát 110 láb.
Teák szigete II.
Most újra egy teákat termesztő kör alakú szigeten járunk, de itt négyféle teát termesztenek. A következőket tudjuk a teaföldekről:
Mind a négy teaföld területe egyenlő, negyede a teljes sziget területének.
Mind a négy teaföld kerülete megegyezik a sziget kerületével.
Fajtánként összefüggő területet alkotnak a termőföldek.
Rajzolj egy felosztást, ami eleget tesz a feltételeknek! Sokféle konstrukció létezik, keress minél egyszerűbben lerajzolhatót! Ha szívesen rajzolsz ilyet, örülünk, ha elküldöd nekünk, de akár szövegesen is leírhatod. Tudsz olyan felosztást (is) rajzolni, ahol nem egyforma alakú a négy teaföld?
Megoldás
Sokféle és kreatív rajzot kaptunk, itt tudjátok böngészni az összes beérkezett ábrát. Mutatunk egy ezektől különböző felosztást:
Osszuk a sziget körének átmérőjét nyolc egyenlő részre, jelöljük az osztópontokat O1, O2, O3,…, O7-tel! Rajzoljunk az osztópontok, mint középpontok köré félköríveket r, 2r, 3r sugárral az ábra szerint! A színek jelzik, hogy mely középpontokhoz mely ívek tartoznak. A 4r sugarú kör az eredeti körünk:
Ha nem gondoltál erre a megoldásra, akkor ezen a ponton érdemes lehet elgondolkodni, hogy miért is jó ez.
1. Azonos-e a négy teaföld kerülete?
A Teák szigete első változatának megoldása során érdekességképpen megmutattuk, hogy bárhogy is „hullámosítjuk” félkörökkel egy kör átmérőjét, a hullámvonal hossza mindig megegyezik a kör fél kerületével. Most hivatkozhatunk az ott leírtakra, de a konkrét esetre itt is megmutatjuk:
A kék „hullám” hossza egyenlő a felső kis félkör és az alsó nagy félkör hosszával, azaz: r · π + 3r · π = 4r · π, ami éppen a nagy (sziget)kör kerületének fele.
A zöld “hullám” két 2r sugarú félkörívből áll, ennek hossza 2r · π + 2r · π = 4r · π, ami szintén a nagy kör kerületének fele.
A piros “hullám” a kékkel megegyező körívekből áll, így ez is a nagy (sziget)kör kerületének fele.
Ezek alapján a teaföldek kerülete mind a négy esetben megegyezik a teljes sziget kerületével.
2. Azonos-e a négy teaföld területe?
Nézzük a két zöld területet, a másik két teaföld egybevágó ezek valamelyikével:
A sötétzöld teaföld területe: T1 +T2, a világoszöld teaföld területe: T3 +T4.
T1 és T5 félkörök. Az érdekesebb alakú területek mindegyike megkapható két félkör területének különbségeként. T3-at például úgy kapjuk, hogy a megfelelő félkörből elvesszük T1-et. Ugyanígy gondolkodhatunk az alsó félkör területei esetén. Részletesen:
Vegyük figyelembe, hogy ha egy kör sugarát n-szeresére változtatjuk, a területe n2-szeresére változik: (nr)2 · π = n2 · (r2 · π) Így ugyanezt elmondhatjuk a körök feléről is.
T3 = 4T1 -T1 = 3T1
T5 = 4T1
T4 = 9T1 –T5 = 9T1 – 4T1 =5T1
T2 = 16T1 - 9T1 = 7T1
Így T1 +T2 és T3 +T4 területe is 8T1 . Vagyis egy megfelelő konstrukciót kaptunk.
Kétségtelen a teák szigete II. megoldásának eleganciája, de vannak más hasonlóan édekes megoldások. Pl. olyan 4 terület, hogy semmilyek kettő nem azonos alakú (ez még szerkeszthető) s találtam egy olyan megoldást is, amikor egy rész a sziget belsejében van, egyetlen pontján sem érintkezik a tengerrel, 120, 240 fokos elforgatással önmagába megy át. Ehhez számolnom kellett, amiben pi-vel is kellett osztani. Egyik elrendezés sem szerepel a megoldáshoz adott listában, mivel ma készültek el végleges formában
Kétségtelen a teák szigete II. megoldásának eleganciája, de vannak más hasonlóan édekes megoldások. Pl. olyan 4 terület, hogy semmilyek kettő nem azonos alakú (ez még szerkeszthető) s találtam egy olyan megoldást is, amikor egy rész a sziget belsejében van, egyetlen pontján sem érintkezik a tengerrel, 120, 240 fokos elforgatással önmagába megy át. Ehhez számolnom kellett, amiben pi-vel is kellett osztani. Egyik elrendezés sem szerepel a megoldáshoz adott listában, mivel ma készültek el végleges formában
Segítségek a mai feladatokhoz (a segítségeket erre a kommentre írom meg válaszul):