Köszönjük a sok képet, amit a Teák szigetéhez küldtetek, most kivételesen nem készítettünk ebből válogatást. Ez az egyik olyan feladat, amelynek lesz folytatása, annál igyekszünk pótolni ezt a mulasztásunkat.
Patak, vasút, ösvény
Egyszer egy túrán vettünk részt Canossa és Ciano között, az ösvény egy patakvölgyben kanyargott, nagyon sokszor kellett átkelnünk a patakon, sziklákon ugrálva. Így született a következő feladat:
Egy ösvény mellett végig kanyarog egy patak és egy vasútvonal is. A túra elején tőlünk balra van a patak, és a pataktól balra a sín. Összesen nyolcszor keresztezzük a patakot és ötször a sínt. Meg lehet-e ez alapján állapítani, hogy a túra végén milyen sorrendben helyezkedik el a patak, a vasút és az ösvény?
Rajzolj egy táblát (lásd alább), majd helyezz el kilenc bábut kilenc mezőn (gombot, cetlit)! A játék célja, hogy egy kivételével az összes bábut levegyük a tábláról.
Egy lépésben bármelyik bábuddal átugorhatsz egy szomszédos mezőn álló bábut, ami ezután lekerül a tábláról. Egy mezőn mindig csak egy bábu állhat! Szomszédosnak számít a közös oldalú vagy csúcsú mező, azaz 7-ről 9-re vagy 2-re is ugorhatsz. Más lépés nem lehetséges, minden ugrással le kell venned egy bábut. Ha egy kézbe vett bábuval tovább tudsz ugrani szabályosan egy következő üres mezőre, akkor ezt megteheted akárhányszor egymás után. Amíg el nem engeded a bábut, egy lépéssorozatnak számítanak a lépéseid.
Ha sikerült ügyesen elhelyezned, majd szabályos lépésekkel (egy híján) leszedegetned a bábukat, akkor elégedett lehetsz :) Ezután azon is érdekes lehet elgondolkodni, hogy meg tudod-e ezt tenni kevesebb lépéssorozattal is. Próbáld minél kevesebb sorozattal megvalósítani a bábuk leszedését!
Messze-messze, egy szabályos kör alakú szigeten világhírű teákat termesztenek. Sajátos módon osztották fel a szigetet a két különleges teafajta termőterületeként:
A két teaföld területe egyenlő, fele a teljes sziget területének.
Mind a két teaföld kerülete megegyezik a sziget kerületével.
Fajtánként összefüggő területet alkotnak a termőföldek.
Rajzolj egy felosztást, ami eleget tesz a feltételeknek! Sokféle konstrukció létezik, keress minél egyszerűbben lerajzolhatót! Ha szívesen rajzolsz ilyet, örülünk, ha elküldöd nekünk, de akár szövegesen is leírhatod.
Megoldás
Húzzuk be az egyik átmérőt, és rajzoljunk két negyedelőpontja köré két, ellentétes állású félkört a bal oldali ábra szerint! Így egy jó felosztást, és egyébként egy ismert szimbólumot kapunk.
Miért jó ez a felosztás? A két rész területe azonos, hiszen egymásba forgathatóak.
Ha a nagy kör sugara 2·r, akkor a kerülete 4·r·π. Egy kis félkör ívhossza r·π. Egy teaföld kerületét egy nagy félkör és két kis félkör ívhossza adja, azaz: 2·r·π + r·π + r·π = 4·r·π, ami valóban megegyezik a sziget kerületével.
Hátha érdekel 🙂 (ha nem, akkor hagyd ki ezt a részt): Érdekességképpen megemlítjük, hogy bárhogy is „hullámosítjuk” félkörökkel egy kör átmérőjét, a hullámvonal hossza mindig megegyezik a kör fél kerületével.
Ez abból adódik, hogy a félkörök sugarainak együttes hossza éppen a teljes kör sugarával egyezik meg. Részletesen:
ahol R a teljes kör sugara, r1, …, rn a kis körök sugarai.
Aki kicsit jártasabb a görbék világában, az sok más konstrukciót is rajzolhat. Akár az előző „hullámosítás” alapján, akár másként is. Sőt, olyan megoldást is lehet adni a feladatra, amely csak a felosztás létezését mutatja meg, magát a felosztást nem.
Micsoda barátok!
Egy 12 fős társaság igazmondókból és hazugokból áll. Azt is tudjuk, hogy mindenkinek pontosan 2 barátja van. (A barátságok kölcsönösek.) Azt veszik észre, hogy mindenki elmondhatja a következő állítást: „Mindkét barátom hazug.”
Maximum hány igazmondó lehet a társaságban? És minimum hány igazmondó lehet köztük?
Megoldás
Először nézzük meg, hogy maximum hány igazmondó lehet a társaságban.
Jelöljük k-val az igazmondók számát. Az igazmondók mind igazat mondanak, ezért valóban mind a két barátjuk hazug a társaságban. Tehát ha végigvesszük az összes igazmondót, és összeszámoljuk a barátaikat, akkor legalább 2·k hazug embert számoltunk. Azonban egy hazug embert többször is számolhattunk, ha például az adott hazugnak több igazmondó barátja is van. Mivel mindenkinek, így a hazugoknak is, csak 2 barátja van, ezért minden hazug embert maximum kétszer számoltunk meg. Így a társaságban van legalább (2·k)/2 = k hazug is. Azaz legalább annyi hazug van a társaságban, mint amennyi igazmondó.
Vagyis maximum 6 igazmondó lehet, ami tényleg elő is fordulhat: üljön egy asztal köré 12 ember és legyenek felváltva igazmondók és hazugok. Ha mindenki a két szomszédjával áll barátságban, akkor az teljesíti a feladat feltételeit és valóban 6 igazmondó van köztük.
Nézzük meg, hogy minimum hány igazmondó lehet a társaságban.
Az előbb az igazmondók szerint számoltuk meg a hazugokat, tegyük meg ezt most fordítva. Minden hazug ember azt állítja, hogy „Mindkét barátom hazug.” Ez hazugság, így minden hazug embernek kell, hogy legyen igazmondó barátja.
Jelöljük a hazugok számát h-val! Ekkor a hazugok barátait végignézve megszámolunk köztük legalább h darab igazmondót is, hiszen minden hazugnak van minimum egy ilyen barátja. Lehet, hogy egy igazmondót többször számoltunk, ha például egy igazmondónak több hazug barátja is van. De biztos, hogy minden igazmondót legfeljebb kétszer számoltunk meg, hiszen ennyi barátja van az embereknek. Tehát legalább h/2 igazmondó van a társaságban. Mivel a társaságban legalább feleannyi igazmondó van, mint hazug, ezért a 12 fő közül legalább 4 igazmondó lesz.
Ilyen társaság létezik is, ahol csak 4 igazmondó van: üljön egy asztal köré 12 ember HIHHIHHIHHIH sorrendben, ahol H a hazugokat, I az igazmondókat jelöli. Ha mindenki a két szomszédjával áll barátságban, akkor az teljesíti a feladat feltételeit és valóban 4 igazmondó van köztük.
Segítségek a mai feladatokhoz (a segítségeket erre a kommentre írom meg válaszul):