Egy tó körül horgászok állnak, akik éppen egy-egy halat fogtak. Tudjuk, hogy minden horgász 9 egység hosszú damillal fogta meg a halát, azaz minden damil a horgász mezőjén kívül 9 másik mezőt érint, a hallal jelölt mezőt is beleszámítva. Rajzoljátok meg a damilok útját! (Online is próbálkozhattok.)
A damilok csak oldalszomszédos mezők között mehetnek, nem ágazhatnak el és minden mezőn maximum 1 damil mehet át. (A kérdőív a bal oldali horgászok által fogott halakra kíváncsi.)
Későn vettem észre, hogy a kávésbögre alja vizes, és így tettem le az asztalra. Majd még odébb is toltam 2 cm-rel (egyenes vonalban). Így az ábrán látható vízfolt keletkezett:
Megoldás
Mennyivel egyszerűbb lenne a helyzetünk, ha a bögrénk oldala nem körív, hanem egyenes lenne. Hiszen ekkor a vízfolt téglalap alakú lenne, amelynek könnyebben ki tudjuk számolni a területét.
Sajnos, nem ilyen egyszerű ez a helyzet, de megmutatjuk, hogy nem is vagyunk nagyon messze ettől. Rajzoljunk három ábrát:
Az első ábrán a bögrének a mozgatás előtti (kék körlap) és utáni (sárga körlap) helyzetét ábrázoltuk. A vízfolt így még nem teljes, a két kört ki kell még egészítenünk, a második ábrán látható módon.
Gondoljuk meg, hogy mekkora a második ábra területe, ehhez bontsuk három részre az alakzatot (harmadik ábra). Legyen egy felső félkör, egy alsó félkör, illetve a köztük lévő részre. A köztük lévő rész egy olyan téglalap aminek az egyik oldala a körlap átmérője (8 cm), a másik oldala pedig éppen a mozgatás hossza (2 cm). Vagyis a második ábrán látható alakzat területe megegyezik a körlap és a téglalap összterületével. Másfelől ennek az alakzatnak a területe éppen a körlap és a vízfolt területe, tehát a vízfolt területe ugyanakkora, mint a téglalapé, azaz 2×8 = 16 cm2.
Az, hogy itt is megjelent egy téglalap, az nem véletlen. Érdemes átgondolni, hogy a fenti indoklás nem csak kör alakú bögre esetén működik. Ha van kedvetek, akkor próbáljátok megfogalmazni, hogy milyen bögrékre mondhatjuk el a fenti indoklást.
Széf 12 mezővel
Egy újabb, 4×4-es négyzet alakú zár akad az utunkba. A zár szerkezete és működési mechanizmusa megegyezik a korábban megismerttel, tehát egy-egy kerek gomb megnyomásával a körülötte lévő 2×2-es részben lévő számok értéke eggyel nő. A mezők értéke kezdetben 0, ám most a zár kinyitásához elég az alábbi 12 mező értékeit beállítani, függetlenül attól, hogy a kérdőjellel jelölt sarkokban ekkor hányas szám áll.
Első ránézésre talán könnyebbnek tűnik így a dolgunk, hisz nem 16, csak 12 mezőre kell figyelnünk. De biztos, hogy ez könnyebbség? Hogyan lehet így kinyitni a zárat? (Online is ki tudjátok próbálni.)
Megoldás
Nézzük a bal felső sarkot! Mivel ennek az értékét csak akkor tudjuk növelni, ha a 9 nyomógomb közül a bal felsőt nyomjuk meg, ezért ahányszor összesen megnyomjuk ezt a gombot, a bal felső mezőben ez a szám fog szerepelni a végén. A gomb körüli négy szám közül 3 ismert, a legkisebb értéke 4, tehát 4-nél többször biztosan nem szabad ezt a gombot megnyomnunk.
Próbáljuk ki először így, nyomjuk meg 4-szer! Az alábbi ábrán sárga háttérrel jelölt mezőkre a sarkon lévőn kívül csak 1-1 gomb van hatással, a zöldek, ezért ezeket 0-szor, illetve 1-szer kell megnyomnunk. Ezek elvégzése után így állunk:
Azonban így nem fogjuk kinyitni a zárat. Ugyanis a most sárga háttérrel jelölt mezőre 8-ast kell beállítanunk, aminek elérésére már csak a zöld gombot használhatjuk, amit tehát 7-szer kell megnyomnunk. Ám ekkor a kék mezőn is 7-es fog állni, de a cél ott az 5, így biztosan nem érünk célt.
Egy pillanatra azonban ne vegyünk tudomást erről a tényről, sokszor épp a hibás kísérletekből lehet tanulni. Az előbb mondottak szerint nyomjuk meg a megfelelő gombot 7-szer. Ez után ezt látjuk a záron:
Ezután a sárga mezőn állítsuk be a kívánt számot, a középső gomb nyomogatásával, majd balról jobbra haladva a kék mezőkkel is tegyük meg ezt az alsó sor 3 gombjának segítségével, a zöld gombhoz egyelőre ne nyúljunk. Ennek eredményeképp a következő helyzethez jutunk:
Ez azért érdekes, mert a sárga mezők kivételével a többin a megfelelő érték szerepel, valamint ha a sárga hátterűeket tudnánk csökkenteni kétszer, akkor minden érték helyes lenne. A zöld gombot tehát -2 -szer kellene megnyomnunk. Ezt persze nem tudjuk megtenni, de a helyzet javítható.
Akinek még nem sikerült megoldani a feladatot, de van kedve még kicsit foglalkozni vele, az nézze meg, mennyiben lesz más a végeredmény, ha a bal felső sarkot nem 4-gyel, hanem 3-mal indítja. Az összehasonlítás után jobban látható, hogyan lehet megoldani az eredeti feladatot. A következő bekezdésben már ezt tárgyaljuk.
Ha a bal felső sarokba 3-ast írunk és a mezőket helyesen állítjuk be, akkor eredményül egy nagyon hasonló helyzetet kapunk, annyi különbséggel, hogy a gombokat átlósan felváltva eggyel többször és eggyel kevesebbszer kell megnyomni. így a legutolsó ábrán a sárga mezők beállítására használt zöld gombot már csak -1-szer kellene megnyomni.
A bal felső sarkot tovább csökkentve pedig találunk egy helyes megoldást, hisz 0 már állhat zöld gombon. Innen pedig nem nehéz meggondolni, hogy a bal felső sarokban nem csak 2, de 1 vagy 0 is állhat, a zárat összesen háromféleképpen lehet kinyitni. (Ekkor a középső gombot is éppen 2-szer, 1-szer vagy egyszer sem kellett megnyomnunk.)
Az alábbi ábrán látható mindhárom helyes megoldás:
Szabad-e megosztanom a feladatokat?
Segítségek a mai feladatokhoz (a segítségeket erre a kommentre írom meg válaszul):