Gondolkozni sokféleképpen lehet, mi matekfeladatokat kínálunk nektek, reméljük, hogy lesz kedvetek gondolkozni rajtuk.

Mikor lesz?

2026. április 13-től 5 hétig fogunk feladatokat küldeni 2 naponta kettőt.

Hogyan lehet részt venni?

Már fel is tudsz iratkozni, gyere te is!

Subscribe now

Milyen feladatok lesznek?

Megnézhetitek a tavalyi feladatokat (pdf-ben is elérhető), idén is hasonlóakkal készülük. Egy nehezebb feladat: Vendégséget szervezünk, az alábbi térképen látjuk, hogy hol tartanak a vendégek. Tudjuk, hogy nem fordulnak vissza, nem is előzik meg egymást, de útközben bármennyit várakozhatnak. Hányféle sorrendben érkezhetnek meg, ha végül mindenki jön?

Más ötletem van, szívesen megosztanám

Más tartalmakat is szívesen megosztunk, szeretnénk, ha hagyománnyá válna, hogy áprilisban gondolkozunk. Ha van ötleted, akkor írj nekünk!

Beküldhetem a megoldásokat?

Igen, a feladatok megoldását be lehet küldeni, leggyakrabban egy számot várunk válaszként. A megoldott feladatok alapján digitális emléklapot is fogunk küldeni a feliratkozóknak.

Van részvételi díj?

A részvétel ingyenes, a programmal párhuzamosan támogatói kampányt is hirdetünk, a támogatásotokat ezúton is köszönjük!

Maradt még kérdésem

Egy részletesebb leírás is elérhető a programról, a poszt alatt kérdezni is tudsz.

Kik szervezik?

A program szervezője A Gondolkodás Öröme Alapítvány. Az Alapítvány matematika iránt érdeklődő, tehetséges diákoknak szervez különféle programokat (pl.: táborok, szakkörörök, versenyek), van, amit már több mint 30 éve.

A diákjaink általában lelkesen gondolkoznak a feladatokon, a minden∙ki∙jön projekt célja, hogy a szélesebb nagyközönségnek is megmutassuk a gondolkodás örömét.

Gyere te is!

Subscribe now

Támogatónk:

Szeretnénk megköszönni még egyszer, hogy ilyen aktívan és örömmel vettetek részt az egy hónapos kihívásunkban!

Az összesítésünk alapján 520-an küldtetek legalább egy megoldást. 62-en voltatok azok, akik a feladatok legalább 80%-ára küldtetek megoldást. Naponta átlagosan 300 válasz érkezett, ez jelentősen meghaladta a várakozásainkat.

Jövőre szeretnénk újra meghirdetni a gondolkodás hónapját, így ha eszetekbe jut valami, amitől jobb lehetne a kezdeményezés, akkor írjátok meg nekünk.

Akik megadták a nevüket, azoknak készítettünk emléklapot. Ha valaki lemaradt erről, akkor még június 27-ig kitöltheti ezt a kérdőívet. Az emléklapon szereplő különféle jelvényeket itt tudjátok megnézni.

Szép nyarat és minden jót kívánunk a jövő évi találkozásig!

Subscribe now

Örülünk, hogy belevágtunk ebbe, jó volt veletek gondolkozni, annak különösen örülünk, hogy a várakozásainkat meghaladta az aktivitás, sokatok gondolatait megismerhettük, köszönjük!

A pihenő után elkészítjük az emléklapokat, határidőt nem merünk ígérni, de reméljük, hogy a következő két hétben mindegyikőtök meg fogja kapni (a neveiteket itt adhatjátok meg). Ha ez megtörtént, akkor várhatóan fogunk még írni egy levelet, egy kicsit részletesebb tapasztalatokkal.

Utoljára, de egyáltalán nem utolsó sorban szeretnénk megköszönni a munkánk támogatását. A még nem teljesen végleges összesítés szerint ti és öregdiákjaink közül összesen 55-en támogattatok, ennek köszönhetően 2 760 628 forint támogatás gyűlt össze, ezt az összeget a Sonrisa további 2.5 millió forinttal megnöveli. Köszönjük!

Tavaszi böngésző

Egy kisgyerek a kedvenc képeskönyvét nézegeti, ebben háromféle állat szerepel; galamb, liba és kutya, minden oldalon egy-egy. A könyvet az elejéről lapozza, sorban nézi az állatokat. Amikor ránéz egy állatra, és észreveszi, hogy ezt az állatot többedszer látja, mint bármelyik eddigit, akkor utánozza ennek az állatnak a hangját. Minden más esetben csendben marad. Speciálisan az első állat hangját is utánozza.

A nézegetés során ezt halljuk:

gur-gurr, gur-gurr, gá-gá, vau-vau, gur-gurr, gur-gurr, vau-vau, vau-vau, gá-gá.

Hány libát látott a kisgyerek?

Megoldás

Az első állat csak a galamb lehetett. A második megszólalás előtt minden állatból maximum 1 lehetett, hiszen ha valamelyikből több lett volna, akkor annak hallottuk volna a hangját. Tehát a második megszólalás a második galambnál történt.

A harmadik megszólalás előtt minden állatból maximum 2 lehetett, hiszen ha valamelyikből több lett volna, akkor annak hallottuk volna a hangját. Mivel a harmadik megszólalás a liba, ez a megszólalás a harmadik libánál történt.

Mivel akkor hallunk újra hangot, amikor eggyel többedszer látja a gyerek az adott állatot, mint eddig bármelyiket, ezért ez a sorszám minden megszólalásnál eggyel nő. Így a negyedik megszólalás a negyedik kutyát, az ötödik az ötödik galambot, …, az utolsó, kilencedik megszólalás a kilencedik libát jelzi. Ezért a libák száma pontosan 9.

Focipálya

Egy 11 fős focicsapat tagjai labdás edzést tartanak. Az egyik gyakorlatban mindenkinél van egy labda, és az a feladatuk, hogy – pontosan egyszerre – a legközelebbi társukhoz passzoljanak (tudjuk, hogy bármely két játékos különböző távolságra van).

Szeretnénk, ha a passzok után minél kevesebb játékosnál lenne labda. Legkevesebb hány játékosnál lehet labda a passzok után?

Megoldás

Két labdás játékos biztosan lesz, hiszen a két legközelebbi ember biztosan egymásnak passzol. Képzeljük el, hogy csak nekik jut labda. Ekkor valamelyiküknél legalább 6 labda lenne, vagyis 6 másik játékosnak ő a legközelebbi szomszédja.

Az ábrán ezt a helyzetet képzeltük el, az ábra közepén van a 6-labdás játékos. Nézzük meg a betűkkel jelzett háromszöget. Ha az a oldal nagyobb lenne, mint a c oldal, akkor az A-val jelölt embernek nem a középső, hanem a B-vel jelölt játékosnak kellene passzolnia. Ugyanígy c > b. Tehát a háromszögnek a c oldal a leghoszabb oldala, vagyis az ezzel szemben fekvő szög a legnagyobb, biztosan nagyobb mint 60°.

A többi háromszögre is meggondolhatjuk ugyanezt (a piros oldal azért kisebb, mint a kékek, mert az összes távolság között ez a legkisebb). Azonban ez lehetetlen, hiszen ekkor a középső pont körüli szögek összege 360°-nál nagyobb lenne. Vagyis nem lehet, hogy csak ennek a két játékosnak jut labda.

Ez az indoklás kicsit technikai volt, igazából azt mutattuk meg, hogy a piros pontok körül nem lehetnek túl sűrűn a többiek.

Egy labdás játékos körül elfér öt játékos, tehát két ilyen ötszöget össze tudunk rakni. Így három labdás játékossal már elérhető a konstrukció:

Leave a comment

Holnap érkeznek majd ennek a két feladatnak a megoldásai, majd egy hétvégi pihenő után elkezdjük az emléklapok készítését. Igyekszünk ezeket személyre szabni, viszont a neveiteket nem ismerjük. Ha szeretnétek névre szóló pdf-et kapni, akkor adjátok meg az adataitokat vagy itt, vagy a gombra kattintva:

Név megadása

Tavaszi böngésző

Egy kisgyerek a kedvenc képeskönyvét nézegeti, ebben háromféle állat szerepel; galamb, liba és kutya, minden oldalon egy-egy. A könyvet az elejéről lapozza, sorban nézi az állatokat. Amikor ránéz egy állatra, és észreveszi, hogy ezt az állatot többedszer látja, mint bármelyik eddigit, akkor utánozza ennek az állatnak a hangját. Minden más esetben csendben marad. Speciálisan az első állat hangját is utánozza.

A nézegetés során ezt halljuk:

gur-gurr, gur-gurr, gá-gá, vau-vau, gur-gurr, gur-gurr, vau-vau, vau-vau, gá-gá.

Hány libát látott a kisgyerek?

Válasz beküldése

A fenti sorrend esetében ezeket a hangokat hallanánk: gur-gurr (az első galambnál), vau-vau (a második kutyánál), gá-gá (a harmadik libánál), gá-gá (a negyedik libánál).

Focipálya (*)

Egy 11 fős focicsapat tagjai labdás edzést tartanak. Az egyik gyakorlatban mindenkinél van egy labda, és az a feladatuk, hogy – pontosan egyszerre – a legközelebbi társukhoz passzoljanak (tudjuk, hogy bármely két játékos különböző távolságra van).

Szeretnénk, ha a passzok után minél kevesebb játékosnál lenne labda. Legkevesebb hány játékosnál lehet labda a passzok után?

Online is tudtok kísérletezni.

Válasz beküldése

Szennyeződés

A képen egy strand 15 medencéjének a térképe látható. A nyilak azt jelölik, hogy melyik medencéből merre megy tovább a víz.

Tudjuk, hogy az egyik medence megrongálódott, ahonnan szennyeződés jut a vízbe. Van egy készülékünk, amely kijelzi, hogy egy medence vize szennyezett-e. A legrosszabb, szerencse nélküli esetet feltételezve legkevesebb hány méréssel lehet biztosan megtalálni a szennyeződés forrását?

Megoldás

4 méréssel meg tudjuk találni a szennyeződés forrását. Legyen az első mérésünk az ábrán A-val jelölt medence.

Ha A szennyezett, akkor ennek a forrása biztosan a sárgával jelölt medencék valamelyike lesz. Ebben az esetben a következő mérésünk legyen a B medence megvizsgálása. Ha a B medence szennyezett, akkor a forrás az első sorban, ha nem szennyezett, akkor a forrás a második sorban van.

Ha az A nem szennyezett, akkor a kékkel jelölt medencék lehetnek szennyezettek. Ekkor vizsgáljuk meg C-t. Ha C szennyezett, akkor a forrás a harmadik sor első négy medencéje között van. Ha C nem szennyezett, akkor az ötödik oszlopban van a forrás.

Mind a négy lehetséges esetben a megvizsgálandó medencék 3 vagy 4 hosszú láncot alkotnak. Egy ilyen lánc esetén két méréssel biztosan meg tudjuk találni a forrást. Nézzük meg ezt az ábrát:

Először az X-et vizsgáljuk, majd ennek eredményétől függően Y-t vagy Z-t. Ekkor valóban elég két mérés, ennek végiggondolását az Olvasóra bízzuk.

Meggondolható, hogy 3 mérés biztosan nem elég.

Subscribe now

Disztópia

12 mesterséges intellingenciával és egy emberrel csetelünk, szeretnénk kitalálni, hogy melyikük az ember. Udvariatlanság lenne, ha valakitől azt kérdeznénk, hogy ember vagy-e. Ezért a következő kérdést tesszük fel: A-tól megkérdezzük, hogy B mesterséges intelligencia-e.

Erre vagy „igen” vagy „nem tudom” választ kaphatunk, hiszen egy mesterséges intellingencia azt nem tudja biztosan megmondani, hogy valaki ember-e.

Az ember tudja, hogy a többiek nem emberek. A mesterséges intellingenciák egymásról vagy biztosan tudják, hogy a másik is az, vagy nincs ilyen információjuk.

Keressünk olyan stratégiát, hogy minél kevesebb kérdés felhasználásával találjuk meg az embert.

Megoldás

Válasszunk egy tetszőleges párt, kérdezzük meg A-t, hogy B mesterséges intelligencia-e?

• 1. eset: A azt állítja, hogy B mesterséges intelligencia. Ekkor B valóban az, tehát őt kizárhatjuk a jelöltek közül. Kérdezzük meg A-t, egy eddig még nem vizsgált felhasználóról.

• 2. eset: A nem tudja biztosan, hogy B mesterséges intelligencia-e. Ekkor A biztosan nem ember, hiszen az ember mindenki másról biztosan tudja, hogy mesterséges intelligencia-e. Ekkor A-t kizárhatjuk a jelöltek közül. Kérdezzük meg B-t, egy eddig még nem vizsgált felhasználóról.

Ezzel a stratégiával minden lépésben egy addig nem ismert felhasználóról kizárhatjuk, hogy ember. Mivel kezdetben 13 felhasználó van, ezért 12 kérdés után biztosan tudni fogjuk, hogy az eddig nem kizárt felhasználó lesz az ember.

12-nél kevesebb kérdés nem elég az ember megtalálásához. Képzeljük el, hogy mindig azt a választ kapjuk, hogy a megkérdezett fél mesterséges intelligencia. Ekkor a megkérdezett biztosan nem ember, azonban a kérdezőről nem tudunk meg semmilyen plusz információt. Tehát egy kérdéssel maximum egy felhasználót zárhatunk ki a jelöltek sorából, akárhogyan is kérdezünk.

Megjegyzés: Képzeljük el, hogy a felhasználókat okosság szerint sorba raktuk (az ember a legokosabb). Tegyük még fel azt is, hogy aki okosabb, az tudja a másikról, hogy az mesterséges intelligencia, fordított esetben viszont nem tudják ezt az információt. Így könnyebb dolgunk lesz, mint az eredeti feladatban, de megmutatjuk, hogy így is kell 12 kérdés.

Egy körben megkérdezhetünk két felhasználót, hogy melyikük az okosabb. Képzeljük el a felhasználókat egy gráf csúcsaiként, kössük össze azokat, akiket egy lépésben megkérdeztünk. 11 ilyen kérdés után azonban még nem lehet összefüggő ez a gráf, így lesz két csúcs, amelyek között éleken nem tudunk eljutni egyikből a másikba. Ez sajnos azt jelenti, hogy közülük nem is tudhatjuk, hogy melyikük az okosabb. Így 11 kérdésből nem tudhatjuk biztosan, hogy ki a legokosabb, tehát ennyi kérdés nem elég az ember megtalálásához.

Leave a comment

Földvári Gergely feladatát kicsit megkésve adjuk közre, enne oka, hogy szerettük volna megoldani, de sajnos nem jutottunk el idáig. Így a feladat nehézségéről nem tudunk nyilatkozni, de ha van kedvetek, akkor gondolkozzatok rajta.

Subscribe now

Szennyeződés

A képen egy strand 15 medencéjének a térképe látható. A nyilak azt jelölik, hogy melyik medencéből merre megy tovább a víz.

Tudjuk, hogy az egyik medence megrongálódott, ahonnan szennyeződés jut a vízbe. Van egy készülékünk, amely kijelzi, hogy egy medence vize szennyezett-e. A legrosszabb, szerencse nélküli esetet feltételezve legkevesebb hány méréssel lehet biztosan megtalálni a szennyeződés forrását?

Online is kipróbálhatjátok.

Válasz beküldése

Disztópia

12 mesterséges intellingenciával és egy emberrel csetelünk, szeretnénk kitalálni, hogy melyikük az ember. Udvariatlanság lenne, ha valakitől azt kérdeznénk, hogy ember vagy-e. Ezért a következő kérdést tesszük fel: A-tól megkérdezzük, hogy B mesterséges intelligencia-e.

Erre vagy „igen” vagy „nem tudom” választ kaphatunk, hiszen egy mesterséges intellingencia azt nem tudja biztosan megmondani, hogy valaki ember-e.

Az ember tudja, hogy a többiek nem emberek. A mesterséges intellingenciák egymásról vagy biztosan tudják, hogy a másik is az, vagy nincs ilyen információjuk.

Keressünk olyan stratégiát, hogy minél kevesebb kérdés felhasználásával találjuk meg az embert.

Válasz beküldése

Kavicsok háromszögben

Pakolj kavicsokat a háromszög oldalai mentén elhelyezett tálkákba! 1-től 6-ig minden lehetséges darabszám szerepeljen, és minden oldal mentén összesen ugyanannyi kavics legyen!

Add meg egyetlen hatjegyű számként a számokat, sorban haladva a háromszög kerületén, bármilyen körüljárási irányban, valamelyik csúccsal kezdve!

Megoldás

Érdemes bátran próbálkozni ezzel a feladattal, intuitívan is találhatunk megfelelő kitöltést. Mi olyan megoldást mutatunk, ahol célirányosabban jutunk el a megoldáshoz.

Válasszuk ki az egyik, például a 6-os számot. Nézzük meg, folytatható-e a kitöltés úgy, ha ezt a háromszög valamelyik csúcsába helyezzük el. A két szomszédos oldalon lévő számok összege meg kell, hogy egyezzen, ami azt is jelenti, hogy az alábbi ábrán lévő zöld, illetve piros körökbe írt számok összege egyenlő.

Ki kell tehát választanunk a maradék számokból (jelenleg ez az 1, 2, 3, 4 és 5) két-két számot, melyeknek azonos az összegük, a kimaradó szám pedig az alsó oldalfelező pontba kerül. A példánkban ilyen lehet az 1+4=2+3, ekkor alulra a kimaradó 5-ös jut. Mivel az egy oldalon levő három szám összege most 6+1+4=11, úgy kell elhelyeznünk a piros és zöld körökbe a számokat, hogy az alsó, vízszintes oldalon is 11 legyen az összeg az ott lévő 5-össel együtt. Ez könnyen megtehető az alábbi módon.

Lehet próbálkozni a 6-os helyett másik szám választásával, vagy azzal, hogy a maradék számokból nem lehet-e másféleképp kiválasztani kettő-kettőt, hogy az összegük egyenlő legyen. Ilyen módokon további 3, összesen tehát 4 megfelelő kitöltés készíthető, ezek megtalálását az Olvasóra bízzuk. (Nem veszünk különbözőnek két kitöltést, ha tükrözéssel vagy forgatással egymásba vihetőek.)

76-os troli

Az alábbi térképen a 76-os troli útvonalának egy részlete látható. A fekete vonalak az utcákat jelölik. A troli útját a piros vonal jelöli. Miki éppen a megállóban van, de a troli már 5 perce elment. Tudja, hogy a troli útja kanyargós, így egy későbbi megállóban még utolérheti. Ha Miki a Szent István park vagy a Victor Hugo utcai megállóba siet, akkor éppen a trolival egyidőben érne oda. Miki és a troli is végig állandó sebességgel halad (a megállókban töltött időt elhanyagoljuk). Mennyit kellene várnia, ha a Balzac utcai megállóba menne?

Megoldás

Két kereszteződés közti távolságot nevezzük egy utcányi távolságnak. Miki a Szent István parktól 2 utcányira, míg a Victor Hugo utcától 3 utcányira van.

Ha Miki a Victor Hugo utca felé indul, akkor egy utcányi távolságra lesz a Victor Hugo utcai megállótól, amikor a troli megérkezik a Szent István parkba. Vagyis amíg a troli a Szent István parktól eljut a Victor Hugo utcáig (azaz megtesz 3 utcányi távolságot), addig Mikinek pontosan 1 utcányi távolságot kell még megtennie eddig a megállóig. A troli ezek szerint háromszor olyan gyorsan halad, mint Miki.

Amikor Miki a megállóba érkezik, akkor 2 utcányira van a Szent István parktól, tehát a trolinak 6 utcányira kell lennie onnan, hogy pontosan egyszerre érkezzenek. Azaz Miki érkezésekor a következő a helyzet:

Vagyis a troli 5 perc alatt (Miki érkezéséig) 10 utcányi távolságot tett meg, azaz 1 perc alatt 2 utcányit halad.

Miki a Balzac utcától 4 utcányira van. Mire 3 utcányit halad a megálló felé, a troli éppen a Victor Hugo utcai megállóba érkezik. Innen egy utcányit kell még haladnia, miközben a troli 3 utcányit megy, tehát amikor odaér, akkor a trolinak a Balzac utcáig még 4 utcányi távolság van hátra. Mivel 2 utcányi távolságot 1 perc alatt tesz meg, így 4 utcányi távolságot 2 perc alatt tesz meg, azaz ennyit kell Mikinek várakoznia, ha a Balzac utcát választja.

Leave a comment

Subscribe now

Kavicsok háromszögben

Pakolj kavicsokat a háromszög oldalai mentén elhelyezett tálkákba! 1-től 6-ig minden lehetséges darabszám szerepeljen, és minden oldal mentén összesen ugyanannyi kavics legyen!

Add meg egyetlen hatjegyű számként a számokat, sorban haladva a háromszög kerületén, bármilyen körüljárási irányban, valamelyik csúccsal kezdve!

Válasz beküldése

76-os troli (*)

Az alábbi térképen a 76-os troli útvonalának egy részlete látható. A fekete vonalak az utcákat jelölik. A troli útját a piros vonal jelöli. Miki éppen a megállóban van, de a troli már 5 perce elment. Tudja, hogy a troli útja kanyargós, így egy későbbi megállóban még utolérheti. Ha Miki a Szent István park vagy a Victor Hugo utcai megállóba siet, akkor éppen a trolival egyidőben érne oda. Miki és a troli is végig állandó sebességgel halad (a megállókban töltött időt elhanyagoljuk). Mennyit kellene várnia, ha a Balzac utcai megállóba menne?

Válasz beküldése

Káposztaföld

Két nyúl közösen termeszti káposztáit egy téglalap alakú, bekerített földrészleten. Az ábrán a két nyúl a hozzájuk tartozó nyúlüreget jelöli. A káposzták szabályos rendben, egy négyzetrács rácspontjaiban növekednek. A köztük lévő földet porhanyósra ásták-gereblyézték, ezért szigorúan tartják magukat ahhoz, hogy ugrálva közlekednek, egy ugrással mindig az egyik legközelebbi káposztához jutva, vagyis átlósan nem ugorhatnak. A fekete szaggatott útvonal például egy szabályos 5-ugrásos útvonal egy jól fejlett káposztáig, de ugyanide sokféleképpen eljuthat a fekete nyúl, akár a sárga, 3-ugrásos úton is.

Hamarosan beérnek a káposzták. Hagyományaikhoz híven azokat a káposztákat, amelyek mindkét nyúlüregtől ugyanannyi ugrásnyira vannak, nemes célokra ajándékozzák. Minden káposztához a lehető legkevesebb ugrást számolják. Például az ábrán körrel jelzett káposzta a fekete nyúl üregétől 3, a barnáétól 5 ugrásnyira van.

Hány káposztát ajándékoz el idén a két nyúl?

Megoldás

A válasz 32. Ha nem ennyi jött ki, érdemes lehet ezen a ponton kicsit elgondolkodni.

Egy kis gondolkodás után könnyedén adódik a két nyúl, mint szemközti csúcsok által kifeszített négyzet átlóján elhelyezkedő négy káposzta. Sőt, az átlót folytathatjuk is tovább mindkét irányban, mert így mindkét nyúlüregtől egyformán távolodunk tovább.

Érdemes most gondolatban megállni a négyzet csúcsában termő káposzta mellett. Vajon tudunk-e másként is továbbugrani úgy, hogy mindkét üregtől egyformán távolodjunk?

Sőt, folytatva a gondolatot, további káposztákra lelhetünk a bal alsó és jobb alsó megkezdett téglalapon belül is:

Így 32 táposztó káposztát ajándékozhat el a két nyúl.

Érdekes távolságfogalom jelenik meg a feladat kapcsán, foglalkozásainkon kicsit körbejárjuk az ebből adódó furcsa helyzeteket, és rácsodálkozunk a néhol igazán meglepő tulajdonságaira.

Nemtrapéz

Rajzolj olyan négyszöget, amelynek nincsenek párhuzamos oldalai és felbontható 4 egybevágó (egyforma) háromszögre!

Megoldás

Két egyenlő szárú háromszögből tudunk ilyen konkáv négyszöget készíteni, azokat pedig felbonthatjuk 2-2 egybevágó derékszögű háromszögre. Így kapjuk a következő példát:

Ha maradunk a derékszögű háromszögnél, akkor a befogókat meg tudjuk úgy választani, hogy konvex példát is kapjunk:

Az általatok küldött példákat most nem gyűjtöttük össze. Ez a két példa nálatok is népszerű volt, ezen kívül többen küldtetek olyat is, amely egy szabályos háromszögből indul ki, sőt, volt példa más deltoidra is.

Leave a comment

Az utolsó hét feladatai érkeznek, pénteken már csak megoldásokat fogunk küldeni, új feladatokat nem. Eddig azt figyeltük meg, hogy a páratlan hetek népszerűbbek voltak a köreitekben, mint a párosak, kíváncsiak vagyunk, hogy ez az ötödik hétre is igaz lesz-e.

Subscribe now

Káposztaföld (*)

Két nyúl közösen termeszti káposztáit egy téglalap alakú, bekerített földrészleten. Az ábrán a két nyúl a hozzájuk tartozó nyúlüreget jelöli. A káposzták szabályos rendben, egy négyzetrács rácspontjaiban növekednek. A köztük lévő földet porhanyósra ásták-gereblyézték, ezért szigorúan tartják magukat ahhoz, hogy ugrálva közlekednek, egy ugrással mindig az egyik legközelebbi káposztához jutva, vagyis átlósan nem ugorhatnak. A fekete szaggatott útvonal például egy szabályos 5-ugrásos útvonal egy jól fejlett káposztáig, de ugyanide sokféleképpen eljuthat a fekete nyúl, akár a sárga, 3-ugrásos úton is.

Hamarosan beérnek a káposzták. Hagyományaikhoz híven azokat a káposztákat, amelyek mindkét nyúlüregtől ugyanannyi ugrásnyira vannak, nemes célokra ajándékozzák. Minden káposztához a lehető legkevesebb ugrást számolják. Például az ábrán körrel jelzett káposzta a fekete nyúl üregétől 3, a barnáétól 5 ugrásnyira van.

Hány káposztát ajándékoz el idén a két nyúl?

Válasz beküldése

Nemtrapéz (*)

Rajzolj olyan négyszöget, amelynek nincsenek párhuzamos oldalai és felbontható 4 egybevágó (egyforma) háromszögre!

Válasz beküldése

Téglavár

Régóta tudták, hogy Téglavár falu határában valamikor egy vár állott (most kőhalom). Egy kapitány levelében megemlíti, hogy „a földszintes négyszegletű épület téglalap alaprajzú, és belsejében mindössze hat négyzet alakú helyiség van”. A közelmúltban a régészeti kutatás is eredménnyel járt: sikerült a falak alapjainak bizonyos részeit feltárni, annyit, amennyi az ásatási jegyzőkönyv mellékelt vázlatán látható. A maradványokból egy helyiség teljes egészében kirajzolódik, falai 10 láb hosszúak – a középvonaluk mentén mérve. Minthogy a falvastagság mindenütt nagyjából azonos, tekintsünk el tőle, a falakat a középvonalaikkal adjuk meg.

Rajzoljuk meg a vár teljes alaprajzát, és határozzuk meg (lábban) a méreteit Hány láb a vár rövidebbik oldalának hossza?

Megoldás

Mivel 6, négyzet alakú helyiségből állt hajdanán a vár, az ásatási jegyzőkönyv vázlatán 1 teljesen, 5 pedig részben látszik, tehát olyan helyiség nincs, amiből nem látunk semmit az ábrán. Ez alapján ki tudjuk egészíteni a várról készült vázlatot. Használjuk az alábbi ábrát:

Az A és E helyiség egyforma méretű, hisz van egy közös oldaluk. Az A jelű, sárga helyiségtől indulva járjuk körbe a legkisebb helyiséget (F-et). A B helyiség oldala 10 lábbal hosszabb az A helyiség oldalánál egy részben közös függőleges fal miatt. Hasonlóképp a B-nél szintén 10 lábbal hosszabb a C helyiség (egy részben közös vízszintes fal miatt). Ennél pedig további 10 lábbal hosszabb a D oldala. Vagyis a D helyiség oldala összesen 30 lábbal nagyobb, mint a bal alsó, E helyiségé. Ezt a többletet a piros szakasz mutatja a fenti ábrán.

Ezért az A helyiség oldala 30+10 = 40 láb, a további helyiségek oldalai rendre 50, 60, 70 láb, ahogyan a következő ábrán látható.

A vár rövidebbik oldalának hossza tehát 110 láb.

Teák szigete II.

Most újra egy teákat termesztő kör alakú szigeten járunk, de itt négyféle teát termesztenek. A következőket tudjuk a teaföldekről:

• Mind a négy teaföld területe egyenlő, negyede a teljes sziget területének.

• Mind a négy teaföld kerülete megegyezik a sziget kerületével.

• Fajtánként összefüggő területet alkotnak a termőföldek.

Rajzolj egy felosztást, ami eleget tesz a feltételeknek! Sokféle konstrukció létezik, keress minél egyszerűbben lerajzolhatót! Ha szívesen rajzolsz ilyet, örülünk, ha elküldöd nekünk, de akár szövegesen is leírhatod. Tudsz olyan felosztást (is) rajzolni, ahol nem egyforma alakú a négy teaföld?

Megoldás

Sokféle és kreatív rajzot kaptunk, itt tudjátok böngészni az összes beérkezett ábrát. Mutatunk egy ezektől különböző felosztást:

Osszuk a sziget körének átmérőjét nyolc egyenlő részre, jelöljük az osztópontokat O₁, O₂, O₃,…, O₇-tel! Rajzoljunk az osztópontok, mint középpontok köré félköríveket r, 2r, 3r sugárral az ábra szerint! A színek jelzik, hogy mely középpontokhoz mely ívek tartoznak. A 4r sugarú kör az eredeti körünk:

Ha nem gondoltál erre a megoldásra, akkor ezen a ponton érdemes lehet elgondolkodni, hogy miért is jó ez.

1. Azonos-e a négy teaföld kerülete?

A Teák szigete első változatának megoldása során érdekességképpen megmutattuk, hogy bárhogy is „hullámosítjuk” félkörökkel egy kör átmérőjét, a hullámvonal hossza mindig megegyezik a kör fél kerületével. Most hivatkozhatunk az ott leírtakra, de a konkrét esetre itt is megmutatjuk:

A kék „hullám” hossza egyenlő a felső kis félkör és az alsó nagy félkör hosszával, azaz: r · π + 3r · π = 4r · π, ami éppen a nagy (sziget)kör kerületének fele.

A zöld “hullám” két 2r sugarú félkörívből áll, ennek hossza 2r · π + 2r · π = 4r · π, ami szintén a nagy kör kerületének fele.

A piros “hullám” a kékkel megegyező körívekből áll, így ez is a nagy (sziget)kör kerületének fele.

Ezek alapján a teaföldek kerülete mind a négy esetben megegyezik a teljes sziget kerületével.

2. Azonos-e a négy teaföld területe?

Nézzük a két zöld területet, a másik két teaföld egybevágó ezek valamelyikével:

A sötétzöld teaföld területe: T₁ +T₂, a világoszöld teaföld területe: T₃ +T₄.

T₁ és T₅ félkörök. Az érdekesebb alakú területek mindegyike megkapható két félkör területének különbségeként. T₃-at például úgy kapjuk, hogy a megfelelő félkörből elvesszük T₁-et. Ugyanígy gondolkodhatunk az alsó félkör területei esetén. Részletesen:

Vegyük figyelembe, hogy ha egy kör sugarát n-szeresére változtatjuk, a területe n²-szeresére változik: (nr)² · π = n² · (r² · π) Így ugyanezt elmondhatjuk a körök feléről is.

T₃ = 4T₁ - T₁ = 3T₁

T₅ = 4T₁

T₄ = 9T₁ – T₅ = 9T₁ – 4T₁ =5T₁

T₂ = 16T₁ - 9T₁ = 7T₁

Így T₁ +T₂ és T₃ +T₄ területe is 8T_{1 .} Vagyis egy megfelelő konstrukciót kaptunk.

Leave a comment

Szubjektív módon ki is emelünk néhány feladatot: Egy nap általában az első feladatra érkezik több megoldás, ez alól két kivétel volt eddig. A széf kinyitása népszerűbb volt, mint a reggeli kávés feladat. A másik minket jobban meglepett, több megoldást kaptunk a szaloncukros feladatra, mint a Janus arcú légióra. Kiemelkedően népszerű volt a π-raktár dobozai. Az egyre jobb kérdések feladatnál még nem érkezett megoldás az általános esetre (mi sem látjuk ezt).

Jó pihenést és gondolkozást kívánunk!

Subscribe now

Téglavár

Régóta tudták, hogy Téglavár falu határában valamikor egy vár állott (most kőhalom). Egy kapitány levelében megemlíti, hogy „a földszintes négyszegletű épület téglalap alaprajzú, és belsejében mindössze hat négyzet alakú helyiség van”. A közelmúltban a régészeti kutatás is eredménnyel járt: sikerült a falak alapjainak bizonyos részeit feltárni, annyit, amennyi az ásatási jegyzőkönyv mellékelt vázlatán látható. A maradványokból egy helyiség teljes egészében kirajzolódik, falai 10 láb hosszúak – a középvonaluk mentén mérve. Minthogy a falvastagság mindenütt nagyjából azonos, tekintsünk el tőle, a falakat a középvonalaikkal adjuk meg.

Rajzoljuk meg a vár teljes alaprajzát, és határozzuk meg (lábban) a méreteit Hány láb a vár rövidebbik oldalának hossza?

Válasz beküldése

Teák szigete II. (**)

Most újra egy teákat termesztő kör alakú szigeten járunk, de itt négyféle teát termesztenek. A következőket tudjuk a teaföldekről:

• Mind a négy teaföld területe egyenlő, negyede a teljes sziget területének.

• Mind a négy teaföld kerülete megegyezik a sziget kerületével.

• Fajtánként összefüggő területet alkotnak a termőföldek.

Csodás látványt is nyújt a sziget az ültetvényekkel, a teák csomagolásán logóként köszön vissza ez a sajátos elrendezés :)

Rajzolj egy felosztást, ami eleget tesz a feltételeknek! Sokféle konstrukció létezik, keress minél egyszerűbben lerajzolhatót! Ha szívesen rajzolsz ilyet, örülünk, ha elküldöd nekünk, de akár szövegesen is leírhatod. Tudsz olyan felosztást (is) rajzolni, ahol nem egyforma alakú a négy teaföld?

Válasz beküldése

Patak, vasút, ösvény

Egy ösvény mellett végig kanyarog egy patak és egy vasútvonal is. A túra elején tőlünk balra van a patak, és a pataktól balra a sín. Összesen nyolcszor keresztezzük a patakot és ötször a sínt. Meg lehet-e ez alapján állapítani, hogy a túra végén milyen sorrendben helyezkedik el a patak, a vasút és az ösvény?

Megoldás

Ha egyszer megyünk át, akkor a patak túloldalára jutunk, ha kétszer, akkor újra az eredeti oldalán leszünk. Tehát minden második átkelés után jutunk vissza az eredeti oldalra, így, ha nyolcszor megyünk át, akkor az eredeti oldalán maradunk. Vagyis a túra végén is balra lesz tőlünk a patak.

A vasutat ötször kereszteztük, ott éppen a másik oldalra kerülünk, a túra végén a vasút tőlünk jobbra lesz. Tehát a túra végi sorrend: patak, ösvény, vasút.

Ugráljunk!

Rajzolj egy táblát (lásd alább), majd helyezz el kilenc bábut kilenc mezőn (gombot, cetlit)! A játék célja, hogy egy kivételével az összes bábut levegyük a tábláról.

Egy lépésben bármelyik bábuddal átugorhatsz egy szomszédos mezőn álló bábut, ami ezután lekerül a tábláról. Egy mezőn mindig csak egy bábu állhat! Szomszédosnak számít a közös oldalú vagy csúcsú mező, azaz 7-ről 9-re vagy 2-re is ugorhatsz. Más lépés nem lehetséges, minden ugrással le kell venned egy bábut. Ha egy kézbe vett bábuval tovább tudsz ugrani szabályosan egy következő üres mezőre, akkor ezt megteheted akárhányszor egymás után. Amíg el nem engeded a bábut, egy lépéssorozatnak számítanak a lépéseid.

Ha sikerült ügyesen elhelyezned, majd szabályos lépésekkel (egy híján) leszedegetned a bábukat, akkor elégedett lehetsz :) Ezután azon is érdekes lehet elgondolkodni, hogy meg tudod-e ezt tenni kevesebb lépéssorozattal is. Próbáld minél kevesebb sorozattal megvalósítani a bábuk leszedését!

Megoldás

5 lépéssorral levehető nyolc bábu. Célunk eléréséhez érdemes megfigyelni a tábla szerkezetét, ami valójában forgásszimmetrikus. Első ránézésre nem szembetűnő, de ha figyelembe vesszük a mezők elhelyezkedését és a lehetséges lépéseket, akkor már jól látszik, hogy megfeleltethető egy ilyen háromszögrácsnak:

No de térjünk vissza a táblához!

Érdemes elgondolkodni azon, hogy hogyan tudunk hosszabb lépéssorozatokat elérni. A 2-3-5 jó állásnak tűnik, mert egy ugrálással leszedegethető mindhárom bábu. 6-ról indulva ugyanide érünk vissza, és a következő ugrással erről a mezőről is leszedhető a bábu, ha a 10-es mezőn is van korong. (Máshonnan nézve a táblát ugyanennek az állásnak felel meg 5-6-7-8-9 vagy 4-5-8-9-10 is.)

Lássunk az előző gondolatok alapján egy lehetséges ötlépéses megoldást:

Hagyjuk szabadon a kettes mezőt a bábuk elhelyezésekor!

1. 7→2

2. 1→4

3. 9→7→2

4. 6→1→4→6

5. 10→3

Ezt mutatja a következő animáció:

A tábla szerkezetéből adódóan a játék kezdetekor üresen hagyott mező a kettes helyett lehet a hármas, négyes, hatos, nyolcas vagy kilences is. Mindegyik a háromszög alakú tábla oldala mentén, nem csúcsban elhelyezkedő mező. Lépéseink könnyen átvihetők ezekre a kezdő helyzetekre.

Látható, hogy ha a középső (5) mezőt hagyjuk szabadon kezdő állapotként, akkor egyetlen bábu sem tud lépni.

Csúcsmezőt szabadon hagyva sem tudjuk megvalósítani célunkat. Ez viszonylag egyszerűen végigkövethető. Menet közben lesznek kötött lépések (ha figyelembe vesszük a forgásszimmetriát), lesznek elágazások, ahol többféle lépés közül választhatunk. Ezeket végignézve láthatjuk, hogy egyik ágon sem tudunk levenni nyolc korongot.

Leave a comment

Subscribe now

Patak, vasút, ösvény

Egyszer egy túrán vettünk részt Canossa és Ciano között, az ösvény egy patakvölgyben kanyargott, nagyon sokszor kellett átkelnünk a patakon, sziklákon ugrálva. Így született a következő feladat:

Egy ösvény mellett végig kanyarog egy patak és egy vasútvonal is. A túra elején tőlünk balra van a patak, és a pataktól balra a sín. Összesen nyolcszor keresztezzük a patakot és ötször a sínt. Meg lehet-e ez alapján állapítani, hogy a túra végén milyen sorrendben helyezkedik el a patak, a vasút és az ösvény?

Válasz beküldése

Ugráljunk! (*)

Rajzolj egy táblát (lásd alább), majd helyezz el kilenc bábut kilenc mezőn (gombot, cetlit)! A játék célja, hogy egy kivételével az összes bábut levegyük a tábláról.

Egy lépésben bármelyik bábuddal átugorhatsz egy szomszédos mezőn álló bábut, ami ezután lekerül a tábláról. Egy mezőn mindig csak egy bábu állhat! Szomszédosnak számít a közös oldalú vagy csúcsú mező, azaz 7-ről 9-re vagy 2-re is ugorhatsz. Más lépés nem lehetséges, minden ugrással le kell venned egy bábut. Ha egy kézbe vett bábuval tovább tudsz ugrani szabályosan egy következő üres mezőre, akkor ezt megteheted akárhányszor egymás után. Amíg el nem engeded a bábut, egy lépéssorozatnak számítanak a lépéseid.

Ha sikerült ügyesen elhelyezned, majd szabályos lépésekkel (egy híján) leszedegetned a bábukat, akkor elégedett lehetsz :) Ezután azon is érdekes lehet elgondolkodni, hogy meg tudod-e ezt tenni kevesebb lépéssorozattal is. Próbáld minél kevesebb sorozattal megvalósítani a bábuk leszedését!

Válasz beküldése

Teák szigete

Messze-messze, egy szabályos kör alakú szigeten világhírű teákat termesztenek. Sajátos módon osztották fel a szigetet a két különleges teafajta termőterületeként:

• A két teaföld területe egyenlő, fele a teljes sziget területének.

• Mind a két teaföld kerülete megegyezik a sziget kerületével.

• Fajtánként összefüggő területet alkotnak a termőföldek.

Rajzolj egy felosztást, ami eleget tesz a feltételeknek! Sokféle konstrukció létezik, keress minél egyszerűbben lerajzolhatót! Ha szívesen rajzolsz ilyet, örülünk, ha elküldöd nekünk, de akár szövegesen is leírhatod.

Megoldás

Húzzuk be az egyik átmérőt, és rajzoljunk két negyedelőpontja köré két, ellentétes állású félkört a bal oldali ábra szerint! Így egy jó felosztást, és egyébként egy ismert szimbólumot kapunk.

Miért jó ez a felosztás? A két rész területe azonos, hiszen egymásba forgathatóak.

Ha a nagy kör sugara 2·r, akkor a kerülete 4·r·π. Egy kis félkör ívhossza r·π. Egy teaföld kerületét egy nagy félkör és két kis félkör ívhossza adja, azaz: 2·r·π + r·π + r·π = 4·r·π, ami valóban megegyezik a sziget kerületével.

Hátha érdekel 🙂 (ha nem, akkor hagyd ki ezt a részt): Érdekességképpen megemlítjük, hogy bárhogy is „hullámosítjuk” félkörökkel egy kör átmérőjét, a hullámvonal hossza mindig megegyezik a kör fél kerületével.

Ez abból adódik, hogy a félkörök sugarainak együttes hossza éppen a teljes kör sugarával egyezik meg. Részletesen:

ahol R a teljes kör sugara, r₁, …, r_n a kis körök sugarai.

Aki kicsit jártasabb a görbék világában, az sok más konstrukciót is rajzolhat. Akár az előző „hullámosítás” alapján, akár másként is. Sőt, olyan megoldást is lehet adni a feladatra, amely csak a felosztás létezését mutatja meg, magát a felosztást nem.

Micsoda barátok!

Egy 12 fős társaság igazmondókból és hazugokból áll. Azt is tudjuk, hogy mindenkinek pontosan 2 barátja van. (A barátságok kölcsönösek.) Azt veszik észre, hogy mindenki elmondhatja a következő állítást: „Mindkét barátom hazug.”

Maximum hány igazmondó lehet a társaságban? És minimum hány igazmondó lehet köztük?

Megoldás

Először nézzük meg, hogy maximum hány igazmondó lehet a társaságban.

Jelöljük k-val az igazmondók számát. Az igazmondók mind igazat mondanak, ezért valóban mind a két barátjuk hazug a társaságban. Tehát ha végigvesszük az összes igazmondót, és összeszámoljuk a barátaikat, akkor legalább 2·k hazug embert számoltunk. Azonban egy hazug embert többször is számolhattunk, ha például az adott hazugnak több igazmondó barátja is van. Mivel mindenkinek, így a hazugoknak is, csak 2 barátja van, ezért minden hazug embert maximum kétszer számoltunk meg. Így a társaságban van legalább (2·k)/2 = k hazug is. Azaz legalább annyi hazug van a társaságban, mint amennyi igazmondó.

Vagyis maximum 6 igazmondó lehet, ami tényleg elő is fordulhat: üljön egy asztal köré 12 ember és legyenek felváltva igazmondók és hazugok. Ha mindenki a két szomszédjával áll barátságban, akkor az teljesíti a feladat feltételeit és valóban 6 igazmondó van köztük.

Nézzük meg, hogy minimum hány igazmondó lehet a társaságban.

Az előbb az igazmondók szerint számoltuk meg a hazugokat, tegyük meg ezt most fordítva. Minden hazug ember azt állítja, hogy „Mindkét barátom hazug.” Ez hazugság, így minden hazug embernek kell, hogy legyen igazmondó barátja.

Jelöljük a hazugok számát h-val! Ekkor a hazugok barátait végignézve megszámolunk köztük legalább h darab igazmondót is, hiszen minden hazugnak van minimum egy ilyen barátja. Lehet, hogy egy igazmondót többször számoltunk, ha például egy igazmondónak több hazug barátja is van. De biztos, hogy minden igazmondót legfeljebb kétszer számoltunk meg, hiszen ennyi barátja van az embereknek. Tehát legalább h/2 igazmondó van a társaságban. Mivel a társaságban legalább feleannyi igazmondó van, mint hazug, ezért a 12 fő közül legalább 4 igazmondó lesz.

Ilyen társaság létezik is, ahol csak 4 igazmondó van: üljön egy asztal köré 12 ember HIHHIHHIHHIH sorrendben, ahol H a hazugokat, I az igazmondókat jelöli. Ha mindenki a két szomszédjával áll barátságban, akkor az teljesíti a feladat feltételeit és valóban 4 igazmondó van köztük.

Leave a comment

Ha eddig nem támogattatok, de szeretnétek, akkor itt találhatjátok a kampány részleteit, a támogatást természetesen előre is köszönjük.

Érkeznek a feladatok is, ezen a héten szerdáig küldünk levelet, csütörtökön és pénteken munkaszüneti nap lesz Magyarországon.

Subscribe now

Teák szigete

Messze-messze, egy szabályos kör alakú szigeten világhírű teákat termesztenek. Sajátos módon osztották fel a szigetet a két különleges teafajta termőterületeként:

• A két teaföld területe egyenlő, fele a teljes sziget területének.

• Mind a két teaföld kerülete megegyezik a sziget kerületével.

• Fajtánként összefüggő területet alkotnak a termőföldek.

Rajzolj egy felosztást, ami eleget tesz a feltételeknek! Sokféle konstrukció létezik, keress minél egyszerűbben lerajzolhatót! Ha szívesen rajzolsz ilyet, örülünk, ha elküldöd nekünk, de akár szövegesen is leírhatod.

Válasz beküldése

Micsoda barátok! (*)

Egy 12 fős társaság igazmondókból és hazugokból áll. Azt is tudjuk, hogy mindenkinek pontosan 2 barátja van. (A barátságok kölcsönösek.) Azt veszik észre, hogy mindenki elmondhatja a következő állítást: “Mindkét barátom hazug.”

Maximum hány igazmondó lehet a társaságban? És minimum hány igazmondó lehet köztük?

Válasz beküldése

Mozaikpadló

Gorsiumban feltártak egy nagy, mozaikpadlóval díszített termet, ennek az alaprajza látható az ábrán.

A középső sárga részek négyzetek, a külső részen lévő részek egyforma téglalapok. Tudjuk, hogy a terem kerülete 42 m. Mekkora a területe?

Megoldás

Legyen a kék téglalap két oldala a és b, a négyzeté s. Egészítsük ki az ábrát:

Keressünk összefüggéseket az oldalak között. A sárgával jelölt szakasz hossza egyrészt a kék téglalap hosszabbik oldala, másrészt előáll a rövidebbik oldal és a négyzet oldalának összegeként is tehát b = s + a.

A kékkel jelölt szakasz hosszát is felírhatjuk kétféleképpen, ami alapján: 2b = 3s.

Az első összefüggést megduplázva éppen 2b-t kapunk, ekkor az egyenlőség jobb oldalán álló kifejezések is egyenlőek, vagyis 2s + 2a = 3s (= 2b). Tehát a négyzet oldala a téglalap rövidebbik oldalának a kétszerese. A hosszabbik oldal pedig a rövidebbik oldal háromszorosa, hiszen b = s + a = 3a.

A nagy téglalap kerületét is fel tudjuk írni a rövidebbik oldal segítségével: K = 8b + 4a = 28a = 42. Ebből megkapjuk, hogy a = 3/2.

Így a terület: T = (b + a) × (3b + a) = (3a + a) × (9a + a) = 4a × 10a = 6 × 15 = 90 m².

Halak a tóban

Egy tó körül horgászok állnak, akik éppen egy-egy halat fogtak. Tudjuk, hogy minden horgász 9 egység hosszú damillal fogta meg a halát, azaz minden damil a horgász mezőjén kívül 9 másik mezőt érint, a hallal jelölt mezőt is beleszámítva. Rajzoljátok meg a damilok útját! (Online is próbálkozhattok.)

Megoldás

Ha kiszínezzük a mezőket sakktáblaszerűen, akkor a damilok felváltva mennek át sötét és világos mezőkön, így egy 9 hosszú damil, ha sötét mezőn álló horgásztól indul, akkor világoson lévő halhoz fog érkezni és fordítva. Ezek alapján a sárga horgászokhoz a sárga halak fognak tartozni.

Így látható, hogy a jobb alsó hal csak az alsó sor bal oldalán lévő horgászhoz tartozhat, a második oszlopban lévő halhoz pedig csak a bal felső horgász damilja tud elmenni.

Mivel a horgászok damiljainak összhossza ugyanannyi, mint a tábla mezőinek a száma, így tudjuk, hogy minden mezőn át kell mennie egy damilnak.

A jobb középső hal csak a jobb felső horgászhoz tartozhat. Ahhoz, hogy el tudjon jutni oda a damil, a jobb középső horgász azt a halat alulról kell, hogy megkerülje. Innen már néhány lépésben befejezhető a kitöltés (a beküldhető válasz 4, 6 volt):

Leave a comment

Subscribe now

Mozaikpadló

Gorsiumban feltártak egy nagy, mozaikpadlóval díszített termet, ennek az alaprajza látható az ábrán.

A középső sárga részek négyzetek, a külső részen lévő részek egyforma téglalapok. Tudjuk, hogy a terem kerülete 42 m. Mekkora a területe?

Válasz beküldése

Halak a tóban (**)

Egy tó körül horgászok állnak, akik éppen egy-egy halat fogtak. Tudjuk, hogy minden horgász 9 egység hosszú damillal fogta meg a halát, azaz minden damil a horgász mezőjén kívül 9 másik mezőt érint, a hallal jelölt mezőt is beleszámítva. Rajzoljátok meg a damilok útját! (Online is próbálkozhattok.)

A damilok csak oldalszomszédos mezők között mehetnek, nem ágazhatnak el és minden mezőn maximum 1 damil mehet át. (A kérdőív a bal oldali horgászok által fogott halakra kíváncsi.)

Válasz beküldése

Reggeli kávé az asztalon

Későn vettem észre, hogy a kávésbögre alja vizes, és így tettem le az asztalra. Majd még odébb is toltam 2 cm-rel (egyenes vonalban). Így az ábrán látható vízfolt keletkezett:

Megoldás

Mennyivel egyszerűbb lenne a helyzetünk, ha a bögrénk oldala nem körív, hanem egyenes lenne. Hiszen ekkor a vízfolt téglalap alakú lenne, amelynek könnyebben ki tudjuk számolni a területét.

Sajnos, nem ilyen egyszerű ez a helyzet, de megmutatjuk, hogy nem is vagyunk nagyon messze ettől. Rajzoljunk három ábrát:

Az első ábrán a bögrének a mozgatás előtti (kék körlap) és utáni (sárga körlap) helyzetét ábrázoltuk. A vízfolt így még nem teljes, a két kört ki kell még egészítenünk, a második ábrán látható módon.

Gondoljuk meg, hogy mekkora a második ábra területe, ehhez bontsuk három részre az alakzatot (harmadik ábra). Legyen egy felső félkör, egy alsó félkör, illetve a köztük lévő részre. A köztük lévő rész egy olyan téglalap aminek az egyik oldala a körlap átmérője (8 cm), a másik oldala pedig éppen a mozgatás hossza (2 cm). Vagyis a második ábrán látható alakzat területe megegyezik a körlap és a téglalap összterületével. Másfelől ennek az alakzatnak a területe éppen a körlap és a vízfolt területe, tehát a vízfolt területe ugyanakkora, mint a téglalapé, azaz 2×8 = 16 cm².

Az, hogy itt is megjelent egy téglalap, az nem véletlen. Érdemes átgondolni, hogy a fenti indoklás nem csak kör alakú bögre esetén működik. Ha van kedvetek, akkor próbáljátok megfogalmazni, hogy milyen bögrékre mondhatjuk el a fenti indoklást.

Széf 12 mezővel

Egy újabb, 4×4-es négyzet alakú zár akad az utunkba. A zár szerkezete és működési mechanizmusa megegyezik a korábban megismerttel, tehát egy-egy kerek gomb megnyomásával a körülötte lévő 2×2-es részben lévő számok értéke eggyel nő. A mezők értéke kezdetben 0, ám most a zár kinyitásához elég az alábbi 12 mező értékeit beállítani, függetlenül attól, hogy a kérdőjellel jelölt sarkokban ekkor hányas szám áll.

Első ránézésre talán könnyebbnek tűnik így a dolgunk, hisz nem 16, csak 12 mezőre kell figyelnünk. De biztos, hogy ez könnyebbség? Hogyan lehet így kinyitni a zárat? (Online is ki tudjátok próbálni.)

Megoldás

Nézzük a bal felső sarkot! Mivel ennek az értékét csak akkor tudjuk növelni, ha a 9 nyomógomb közül a bal felsőt nyomjuk meg, ezért ahányszor összesen megnyomjuk ezt a gombot, a bal felső mezőben ez a szám fog szerepelni a végén. A gomb körüli négy szám közül 3 ismert, a legkisebb értéke 4, tehát 4-nél többször biztosan nem szabad ezt a gombot megnyomnunk.

Próbáljuk ki először így, nyomjuk meg 4-szer! Az alábbi ábrán sárga háttérrel jelölt mezőkre a sarkon lévőn kívül csak 1-1 gomb van hatással, a zöldek, ezért ezeket 0-szor, illetve 1-szer kell megnyomnunk. Ezek elvégzése után így állunk:

Azonban így nem fogjuk kinyitni a zárat. Ugyanis a most sárga háttérrel jelölt mezőre 8-ast kell beállítanunk, aminek elérésére már csak a zöld gombot használhatjuk, amit tehát 7-szer kell megnyomnunk. Ám ekkor a kék mezőn is 7-es fog állni, de a cél ott az 5, így biztosan nem érünk célt.

Egy pillanatra azonban ne vegyünk tudomást erről a tényről, sokszor épp a hibás kísérletekből lehet tanulni. Az előbb mondottak szerint nyomjuk meg a megfelelő gombot 7-szer. Ez után ezt látjuk a záron:

Ezután a sárga mezőn állítsuk be a kívánt számot, a középső gomb nyomogatásával, majd balról jobbra haladva a kék mezőkkel is tegyük meg ezt az alsó sor 3 gombjának segítségével, a zöld gombhoz egyelőre ne nyúljunk. Ennek eredményeképp a következő helyzethez jutunk:

Ez azért érdekes, mert a sárga mezők kivételével a többin a megfelelő érték szerepel, valamint ha a sárga hátterűeket tudnánk csökkenteni kétszer, akkor minden érték helyes lenne. A zöld gombot tehát -2 -szer kellene megnyomnunk. Ezt persze nem tudjuk megtenni, de a helyzet javítható.

Akinek még nem sikerült megoldani a feladatot, de van kedve még kicsit foglalkozni vele, az nézze meg, mennyiben lesz más a végeredmény, ha a bal felső sarkot nem 4-gyel, hanem 3-mal indítja. Az összehasonlítás után jobban látható, hogyan lehet megoldani az eredeti feladatot. A következő bekezdésben már ezt tárgyaljuk.

Ha a bal felső sarokba 3-ast írunk és a mezőket helyesen állítjuk be, akkor eredményül egy nagyon hasonló helyzetet kapunk, annyi különbséggel, hogy a gombokat átlósan felváltva eggyel többször és eggyel kevesebbszer kell megnyomni. így a legutolsó ábrán a sárga mezők beállítására használt zöld gombot már csak -1-szer kellene megnyomni.

A bal felső sarkot tovább csökkentve pedig találunk egy helyes megoldást, hisz 0 már állhat zöld gombon. Innen pedig nem nehéz meggondolni, hogy a bal felső sarokban nem csak 2, de 1 vagy 0 is állhat, a zárat összesen háromféleképpen lehet kinyitni. (Ekkor a középső gombot is éppen 2-szer, 1-szer vagy egyszer sem kellett megnyomnunk.)

Az alábbi ábrán látható mindhárom helyes megoldás:

Leave a comment

Subscribe now

Reggeli kávé az asztalon (*)

Reggeli mellé mindig szoktam magamnak kávét főzni, néha megfeledkezem arról, hogy letöröljem a kávéscsésze alját, ami ilyenkor nyomot hagy az asztalon.

Későn vettem észre, hogy a kávésbögre alja vizes, és így tettem le az asztalra. Majd még odébb is toltam 2 cm-rel (egyenes vonalban). Így az ábrán látható vízfolt keletkezett:

Mekkora a bögrén kívüli vízfolt területe, ha a bögre átmérője 8 cm?

Válasz beküldése

Széf 12 mezővel (*)

Egy újabb, 4×4-es négyzet alakú zár akad az utunkba. A zár szerkezete és működési mechanizmusa megegyezik a korábban megismerttel, tehát egy-egy kerek gomb megnyomásával a körülötte lévő 2×2-es részben lévő számok értéke eggyel nő. A mezők értéke kezdetben 0, ám most a zár kinyitásához elég az alábbi 12 mező értékeit beállítani, függetlenül attól, hogy a kérdőjellel jelölt sarkokban ekkor hányas szám áll.

Első ránézésre talán könnyebbnek tűnik így a dolgunk, hisz nem 16, csak 12 mezőre kell figyelnünk. De biztos, hogy ez könnyebbség? Hogyan lehet így kinyitni a zárat? (Online is ki tudjátok próbálni.)

Hányszor nyomtad meg összesen a középső gombot?

Válasz beküldése

Térképrészlet

Találtunk egy vázlatos térképet:

Meg tudjuk határozni a B-ből D-be menő útvonal hosszát?

Megoldás

Egyenleteket felírva is megoldhatjuk a feladatot, azonban enélkül is célhoz érhetünk. Képzeljük el, hogy Aladár A-ból elmegy D-be, Baltazár pedig B-ből megy C-be. Mennyit mennek összesen? Ez leolvasható a térképről, összesen 54+72 = 126 km-t tesznek meg.

Miután megérkeznek, vissza is mennek, de úgy, hogy helyet cserélnek, tehát Aladár megy B-be, és Baltazár megy A-ba. Így mekkora utat tesznek meg? A térkép alapján a megtett út 50+BD, másrészt meggondolhatjuk, hogy a csere nem változtatja meg az összhosszt, tehát összesen ebben az irányban is 126 km-t kell megtenniük.

Tehát 76 km a BD útvonal hossza.

Lakótelep

Egy lakótelepen 5×5-ös elrendezésben van 25 ház. A változatosság kedvéért 1, 2, 3, 4 vagy 5 emeletes házakat építettek úgy, hogy mindegyik fajta épület minden sorban és minden oszlopban egyszer szerepeljen.

A brutalista építészet egy rajongója körbejárta a lakótelepet és közben néhány helyről megnézte, hogy abból az irányból hány ház látszik. Egy ház pontosan akkor látszik, ha abból az irányból nézve nincs előtte magasabb ház.

Hogyan helyezkednek el a házak a lakótelepen?

Megoldás

Írjuk először az 5 emeletes házakat az ábrába. Mivel az 5 emeletes ház eltakarja az összes mögötte lévő épületet, így a két szélső oszlopban az 5-ös csak a felső két sorba kerülhet, a felső sorban lévő kettes miatt a jobb felső sarokban nem lehet. Így a bal felső sarokba, illetve a második sor jobb szélén lesz 5 emeletes. A harmadik sorban csak a 4. oszlopba kerülhet 5-ös, a lenti 2-es alapján a maradék két 5 emeletes ház is egyértelműen elhelyezhető.

Ahhoz, hogy a felső sorban jobbról csak két házat lehessen látni, a 4 emeletes háznak az utolsó oszlopban kell lennie. Így ez az oszlop egyértelműen kitölthető, hiszen alulról 4 házat is látunk. Hasonlóan járhatunk el a harmadik sorral és a bal oldali oszloppal is.

Az alsó felében szabadon maradt 4 hely kitölthető az alapján, hogy minden szám minden sorba és oszlopba pontosan egyszer kerül. Ezután a fenti hat szám is beírható, felhasználva, hogy a középső oszlopban felülről 3 épület látszik (a beküldhető válasz így az 5, 3, 4, 1, 1 volt).

Leave a comment

A tegnapi széfes feladatban elrejtettünk egy easter egg-et is, ha esetleg ez elkerült titeket, akkor itt megtalálhatjátok a feladatot.

Subscribe now

Térképrészlet

Találtunk egy vázlatos térképet:

Meg tudjuk határozni a B-ből D-be menő útvonal hosszát?

Válasz beküldése

Lakótelep (*)

Egy lakótelepen 5×5-ös elrendezésben van 25 ház. A változatosság kedvéért 1, 2, 3, 4 vagy 5 emeletes házakat építettek úgy, hogy mindegyik fajta épület minden sorban és minden oszlopban egyszer szerepeljen.

A brutalista építészet egy rajongója körbejárta a lakótelepet és közben néhány helyről megnézte, hogy abból az irányból hány ház látszik. Egy ház pontosan akkor látszik, ha abból az irányból nézve nincs előtte magasabb ház.

Hogyan helyezkednek el a házak a lakótelepen?

Válasz beküldése

Széf

Egy zár egy 4 × 4-es négyzet, melynek minden mezőjében a 0 szám áll. Van rajta néhány kerek nyomógomb is, mindegyik a körülötte lévő 2 × 2 - es részhez tartozik. Ha megnyomjuk valamelyik gombot, akkor a hozzá tartozó részben a számok mindegyike 1-gyel nő. Megszereztük a kódot, mely az alábbi ábrán látható. A zár csak akkor nyílik, ha sikerül a 16 mező mindegyikén a megfelelő számot beállítanunk.

Megoldás

Mivel a négy sarkon lévő mező értékét csak akkor tudjuk növelni, ha a 9 nyomógomb közül a megfelelő sarokban levőt nyomjuk meg, ezért ezeket a gombokat biztosan 3, 2, 4 és 3 alkalommal kell megnyomnunk. (A gombokra kékkel ráírtuk, hogy hányszor nyomtuk meg őket eddig.) A sarkok ezzel már rendben vannak, a következő számokat látjuk a záron:

A felső sorban sárga háttérrel jelölt két középső mezőn lévő számok értékét csak 2-2 gombbal tudjuk növelni: a megfelelő sarkon lévővel és a felső középsővel. Mivel a sarki gombokon már nem nyomhatunk többet, ezért a sárga mezők beálltásához csak a felső középső gombot nyomogathatjuk. Ez meg is tehető, a 7 és a 6 értékek beállításához összesen 4-szer kell megnyomnunk.

Ugyanez a gondolat mondható el az alsó sor és a két szélső oszlop két-két középső mezőjéről, ezeket is már csak a megfelelő zöld gomb segítségével tudjuk beállítani. Ezek elvégzése után körben minden mezőn a megfelelő szám áll. A négy középső mezőn lévő értéket kell még beállítanunk. A záron most a következő számokat láthatjuk:

Jól látszik, hogy nincs más dolgunk, mint a középső gombot megnyomni 2-szer, ezzel sikerül kinyitnunk a zárat.

Billeg-ballag

Az animáción látható asztal billeg. Az asztal méretei a szokásosak, 75 cm magas, az asztallap 90×120 cm. Két lábából is hiányzik egy kicsi (<2 cm), de nem tudjuk, hogy melyikből pontosan mennyi (a két láb hossza eltérő).

Láthatjuk, hogy a billegő asztalnak két stabil állapota van. A két stabil állapotban egyforma magasra emelkedik a két billegő asztalláb? Ha nem, melyik lesz magasabban?

Megoldás

Próbáljuk megérteni az asztal billegését. Először egészítsük ki az animációt. Mit látunk itt? Egyrészt a piros szakasz sosem nem mozog, hiszen a két hosszabb láb végig a talajon van.

Legyen a piros szakasz felezőpontja P. A P pont és a két rövidebb láb egy síkban vannak, ezt az animáción is jelöltük. P pont végig a talajon marad, nem mozdul el, másrészt ez a lábak felezőpontja, ezért az asztal lábaihoz viszonyított helyzete sem változik. Emiatt a tulajdonságai miatt a P pont fontos szerepet fog játszani a megoldásunkban.

Nézzük meg ezt a síkot külön, először úgy, mintha mind a négy láb azonos magasságú volna, egészítsük ki a két lábat az ábrán látható módon egy kék (x) és egy zöld résszel (y). Legyen x > y, ekkor az is igaz, hogy a > b, hiszen a² = d²+x², illetve b² = d² + y².

Amikor az asztal billeg, akkor mi történik ezen a síkon? Például ha az asztal balra dől, akkor a kék rész eltűnik és az a szakasz a talajra kerül. Hasonlóan jobbra dőlés esetén a b szakasz kerül a talajra.

Vizsgáljuk meg ezt a két helyzetet, de forgassuk el az ábrákat úgy, hogy az asztallap maradjon vízszintes. Máshogy fogalmazva, ne az asztal billegjen, hanem a talaj. Ekkor a következőt látjuk:

Mindkét esetben a levegőben lévő láb magassága a derékszögű háromszög lila színű szögével szemközti befogója. A két lila szög megegyezik, hiszen mindkét szög az a és b szakasz bezárt szögét egészíti ki egyenessé. A befogók aránya megegyezik az átfogók arányával.

Tehát az a láb lesz magasabban, ahol az átfogó hosszabb, ezt korábban láttuk, hogy a > b. Azaz a rövidebbik láb emelkedik magasabbra.

Bár a két magasság eltérő, a különbség szemmel nem látható, a két láb magasságának aránya maximum 1.000355 lehet.

Leave a comment

A bőrönd zárja, avagy a magáról árulkodó szám

Többféle csatlakozó kérdés is felmerült:

• Érdekes lehet, ha nem csak 0-tól 9-ig állíthatók a számok, hanem van még több lehetőség is (pl. 16-os számrendszer).

• Érdekes, hogy 6 jegyű ilyen számot nem lehet csinálni, de annál nagyobbat úgy néz ki, hogy igen, és 5 és 4 jegyű is volt előtte. Miért nincs [6 jegyű]?

• 1-től 10¹¹-ig 6 db megfelelő szám van. Ezeket egy megfelelő kóddal gyorsan meg lehet találni.

Nem szomszédos számok

• A rejtvényt Sugurunek hívják (Logic-Wiz Sugurus játékappjával évek óta játszom, érdemes kipróbálni, variánsok is vannak, tehát nehezebbek, de plusz szabályokkal).

• Ezeket nagyon szeretem! Ilyet még! :)

Kötögetés

A ChatGPT nem mindig mond igazat, jó, ha ellenőrizzük:)

• Reméltem, hogy elérhető 6, hogy mindegyik zsinór mindegyiket metszi és más pontban, de a 105 eset akár kézzel is átvizsgálható, s nem jön ki 5-nél jobb. Egyedül a ChatGPT mondott 5-öt, nagyon felületesen indokolt, ezért inkább megírattam a programot a Geminivel, amiből szintén 5 jött ki. A ChatGPT o1-mini kis nógatásra előhozakodott egy tétellel, persze hivatkozás nélkül, miszerint nem-triviális, de jól ismert tény: ha 4 zsinórt kötünk 8 körkörös pontra, legfeljebb 5 belső metszéspontot lehet kapni.
  
  Na ez a tétel ennyire általánosan viszont biztos nem igaz. Készítettem is ilyen kört vázlatként amiből szép ábrát csináltattam magával a ChatGPT-vel. Ha általánosan választhatunk meg 4 húrt, elérhető a hat pont, szóval csak át akart verni egy nem létező általános tételre hivatkozással.

Billeg-ballag

• A négy láb által meghatározott tetraéder térfogatát kétféleképpen felírjuk. Az alapterület a rövidebb lábon állva nagyobb (az „átlóhoz” tartozó magasság a „harmadik” láb rövidítésével nő), tehát a tetraéder keresett magassága a rövidebb lábon állva kisebb.

• Engem nagyon zavart a feladat előtti bevezető, amiben a feladat kérdésének a leértékelését éreztem.Biztosan megvannak a matematikai és a didaktikai szempontjaitok is, hogy a problémát miért éppen ebben a megfogalmazásban tűztétek ki, amit az animáció még hangsúlyosabbá tett.

  • SzG: Nem gondoltunk erre, ennek kapcsán szívesen megírom, hogy mi volt a fejemben. A feladat kigondolása közben számomra az volt a legnagyobb élmény, hogy megérthettem a billegés jelenségét, korábban ezen még sosem gondolkoztam. A bevezetőben valami olyasmit szerettem volna mondani, hogy akinek van kedve, az gondolkozzon ezen, konkrét kérdés nélkül.
    

    De ebben nincsen különbség, a feladat megoldásához is szükséges, hogy megértsük a jelenséget. A különbség abban van, hogy a feladat nélkül a kérdéseket is magunknak kell feltennünk. Tehát ha a Hogyan billeg az asztal? kérdésre tudunk válaszolni, akkor az a várakozásunk, hogy például a feladatban szereplő kérdésre is választ tudunk adni (de legalábbis tudunk róla mondani valamit).
    

    Egy személyes foglalkozáson elő is fordul, hogy ilyen nyitott a kérdést teszünk fel, de ebben a levelezős formátumban nehéz lenne erről beszélgetni. Ezért fogalmaztuk meg a feladatot is.

• If the two short legs are adjacent, the table still wobbles, but one position isn't really stable (at least that was my experience with the little table I constructed).
  Ha a két rövid láb egymás mellett van, az asztal még mindig inog, de az egyik pozíció nem igazán stabil (legalábbis ez volt a tapasztalatom az általam épített kis asztallal).

Mire gondoltam?

• Olyan volt, mint egy logikai aknakereső, tökéletes példa az információelméleti gondolkodásra, hogy hogyan lehet minél több lehetőséget kizárni egyetlen válasszal, fontos hogy okosan kérdezzünk.

• Nem tudom, hogy csak velem „bohóckodott”-e, de nekem nem engedte kevesebből :P. De egyébként jómóka feladat.

Lakótelep

• Ehhez is jópofa lett volna egy kis online izé, ami kiírja, hogy a számok beírásakor a szélen mennyi látszik, tehát hogy a megoldást ellenőrizni lehessen (ez nem kritika, állati jó az egész játék!!, csak javaslat)

• Papírból kivágtam 5-5 1-es, 2-es, stb kis számokat. Először próbálgattam. Utána a hol nem lehet 5-öst jelöltem be. Majd a hol kell, hogy 5-ös legyen. Nagyon jól szórakoztam.

Széf

• Hibás az online applikáció, ugyanazon gépről, ha többször próbálkozol, akkor a középső gombot nem nullázza le.

  • Köszönjük a jelzést, menet közben javítottuk is.

Leave a comment

Subscribe now

Széf

Egy zár egy 4×4-es négyzet, melynek minden mezőjében a 0 szám áll. Van rajta néhány kerek nyomógomb is, mindegyik a körülötte lévő 2×2-es részhez tartozik. Ha megnyomjuk valamelyik gombot, akkor a hozzá tartozó részben a számok mindegyike 1-gyel nő. Megszereztük a kódot, mely az alábbi ábrán látható. A zár csak akkor nyílik, ha sikerül a 16 mező mindegyikén a megfelelő számot beállítanunk.

Vajon ki tudjuk nyitni a zárat? Hányszor kell megnyomnunk a középső gombot? Online is megéri kipróbálni.

Válasz beküldése

Billeg-ballag (∀, **)

Biztosan mindegyikőtök ült már olyan asztalnál, amelyik billegett. Azon viszont mostanáig nem gondolkoztam, hogy vajon mi is történik a billegésnél. Hogyan billeg egy asztal? Hogyan lehet leírni ezt a mozgást? Milyen magasra emelkednek a lábak billegés közben? Ha négy lába van a billegő asztalnak, akkor mindig két stabil helyzete lesz a billegésnek?

Bár ezek a kérdések nem teljesen precízek, azt hiszem, érdekesebbek, mint a korrekten megfogalmazott kérdés. Ha van kedvetek, akkor gondolkozzatok ezeken a feladat elolvasása előtt vagy akár helyett.

Az animáción látható asztal billeg. Az asztal méretei a szokásosak, 75 cm magas, az asztallap 90×120 cm. Két, átellenes lábából is hiányzik egy kicsi (<2 cm), de nem tudjuk, hogy melyikből pontosan mennyi (a két láb hossza eltérő).

Láthatjuk, hogy a billegő asztalnak két stabil állapota van. A két stabil állapotban egyforma magasra emelkedik a két billegő asztalláb? Ha nem, melyik lesz magasabban?

Válasz beküldése

Megoldások

Kötögetés

A PictArt cég piacra dobta legújabb termékét, egy DIY alapú képkeretet. Ez egy négyzet alakú, fából készült üres keret, melyen 8 rögzítési pont van: a keret csúcsaiban és az oldalfelező pontokban. A csomagban kapunk 4 impozáns zsinórt is, melyeket a rögzítési pontok közé tudunk kifeszíteni, egy pontba csak egy zsinórvég rögzíthető. Ezután a zsinórok metszéspontjaiba akaszthatunk egy-egy képet egy erre kialakított kampó segítségével. (Ha kettőnél több zsinór is egy pontban metszi egymást, sajnos oda is csak egy kampót rögzíthetünk, tehát csak egy képet tudunk rá felakasztani.) Maximum hány képre elég ez a keret, azaz hány metszéspontja lehet a zsinóroknak?

Megoldás

Ha elkezdünk rajzolgatni, akkor néhány próbálkozás után találhatunk 4, sőt 5 metszéspontos konstrukciót is.

Javítható ez? Ha csak 2 zsinór van, azok legfeljebb 1 pontban, 3 zsinór legfeljebb 3 pontban metszheti egymást. Ha a negyedik metszi az összes előzőt, az 3 új metszéspontot jelent. Tehát 4 zsinórral 6 metszéspont érhető el legfeljebb.

Nézzük meg, hogyan lehetne 6 metszéspontot csinálni. Ez csak akkor lehetséges, ha mindegyik zsinór mindegyik másikat metszeni tudja. Ha elképzeljük, hogy felrögzítettük már az első zsinórt, csak olyan új zsinórral tudjuk ezt metszeni, melynek a 2 rögzítési pontja az első zsinórunk két különböző oldalán van.

Összesen 3 zsinórral kell metszenünk az elsőt, tehát az első zsinór mindkét oldalán 3-3 rögzítési pontnak kell lennie. Ez viszont elmondható minden zsinórról, tehát csak olyan helyzetben rögzíthetünk zsinórokat, hogy mindegyiknek mindkét oldalán 3 rögzítési pont van. Ez pontosan azt jelenti, hogy minden rögzítési pontot a vele szemköztivel kell összekötni. Ha ezeket a zsinórokat választjuk, akkor ezek egy pontban – a négyzet középpontjában – metszenék egymást.

A kívánt 6 metszéspont helyett csupán 1-et kapunk, tehát az 5 metszéspont tehát nem növelhető.

Törtek törtje (**)

Az 1, 2, 3, ..., 8 számokat kell elhelyezni az alábbi kifejezésben. Keressetek olyan elrendezést, hogy minél nagyobb legyen a tört értéke! Biztosak vagytok benne, hogy megtaláljátok a legnagyobbat? (Nullával nem oszthatunk.)

Sokan írtatok programot a kérdésre, mi most egy kézi megoldást mutatunk.

Megoldás

A konstrukció keresése közben az okozza a kihívást, hogy többféle ellentétes szempontnak szeretnénk megfelelni.

Gondoljuk meg, hogy mikor lesz egy tört nagy? Ha a számlálója nagy, és a nevezője kicsi. Tehát a nevezőben két egymáshoz közeli törtet kell keresnünk, de úgy, hogy ne használjuk el a legnagyobb számokat, maradjon belőlük a számlálóra is. Viszont az sem jó, ha a számlálóban csupa nagy szám marad, hiszen akkor a nagy számok hányadosai nem lennének igazán nagyok.

Mindent figyelembe venni kimerítőnek tűnik, ehelyett próbálkozzunk, nézzünk meg néhány törtet:

A nevező 1/8, ez csökkenthetőnek tűnik (például a 7-et és a 8-at megcserélve is nagyobb eredményhez jutunk). Sokan küldtétek ezt a megoldást is:

Itt a nevező 2/30, ami kb. fele az 1/8-nak. A nevezőben a 3/5-öt 5/7-re cserélve újra növelhető a tört értéke. De ez még mindig nem maximális, még mindig tudunk nagyobbat mutatni:

Ez az érték meglepően nagy. Vajon ez már a maximum? Van esély egyáltalán indoklásra?

Tényleg ez a maximum, az indoklás azonban kicsit technikai. A számláló maximális értéke: 8/1 + 7/2 = 11,5. Ha nem 385 lenne a maximum, akkor teljesülne az alábbi egyenlőtlenség:

Ezt átalakítva és használva a számlálóra vonatkozó becslést:

Csak akkor van esélyünk ilyen különbséget találni, ha a közös nevezőre hozás után a számláló eh-fg=1, és az fh szorzat legalább 33. Ha a két nevező 7 és 8, akkor 1/7-1/8 = 1/56 < 1/33 és 7/8-6/7 = 1/56 < 1/33, de sajnos mindkét esetben van olyan szám, amit kétszer használtunk. Hasonlóan az 1/6-1/7 = 1/42 < 1/33 és 6/7-5/6 = 1/42 < 1/33 sem megfelelő. Ha a két nevező 5 és 8, akkor 2/5 - 3/8 = 1/40 esetet ellenőriznünk kell, ekkor a tört értéke 340, ami kisebb 385-nél. A többi esetben sem kaphatunk nagyobb értéket, ennek végiggondolását a kedves Olvasóra bízzuk.

Subscribe now

Kötögetés

A PictArt cég piacra dobta legújabb termékét, egy DIY alapú képkeretet. Ez egy négyzet alakú, fából készült üres keret, melyen 8 rögzítési pont van: a keret csúcsaiban és az oldalfelező pontokban. A csomagban kapunk 4 impozáns zsinórt is, melyeket a rögzítési pontok közé tudunk kifeszíteni, egy pontba csak egy zsinórvég rögzíthető. Ezután a zsinórok metszéspontjaiba akaszthatunk egy-egy képet egy erre kialakított kampó segítségével. (Ha kettőnél több zsinór is egy pontban metszi egymást, sajnos oda is csak egy kampót rögzíthetünk, tehát csak egy képet tudunk rá felakasztani.) Maximum hány képre elég ez a keret, azaz hány metszéspontja lehet a zsinóroknak?

Válasz beküldése

Törtek törtje (**)

Az 1, 2, 3, ..., 8 számokat kell elhelyezni az alábbi kifejezésben. Keressetek olyan elrendezést, hogy minél nagyobb legyen a tört értéke! Biztosak vagytok benne, hogy megtaláljátok a legnagyobbat? (Nullával nem oszthatunk.)

Válasz beküldése

Tarkal papa kendője (*)

Tarkal papa 4 lányunokájának szeretne pöttyös selyemkendőt varrni. Tudja, hogy a hagyományos kendő szabásmintája egyenlő szárú derékszögű háromszög alakú, és minden unokának más méret kell. A méteráruboltból hazaérve azonban döbbenten veszi észre, hogy félreértették, és egyetlen nagy négyszög alakú anyagot kapott. Rövid gondolkodás után a fejére csap, hiszen rájön, hogy fel tudja vágni az anyagot úgy, hogy mind a négy kendő kijöjjön belőle, és még csak nem is kell belőle semmit kidobni!

Hogyan nézhetett ki az anyag, amit Tarkal papa hazavitt?

Megoldás

Ragasszuk össze Tarkal papa négyszögét egyenlő szárú derékszögű háromszögekből! Helyezzük el az elsőt, majd a következő háromszög egyik befogóját ragasszuk az előző átfogójához! Ezt kétféleképpen tehetjük meg, de a megoldás szempontjából nem lényeges, hogy melyiket választjuk, mert a két kendőkezdemény egymás tükörképe lesz.

Ha ezt folytatjuk, biztosan nem lesznek ugyanakkorák a háromszögeink, hiszen egyre nagyobbakat ragasztunk, azonban négy háromszög elhelyezése után a végeredmény még nem biztos, hogy négyszög lesz.

A harmadik háromszög ragasztásánál ismét választás elé kerülünk aszerint, hogy melyik befogót ragasztjuk a második átfogójához. A két lehetőség:

Innen már csak egy lépésre van szükségünk, a jobb oldali ábra két lehetséges befejezését mutatjuk meg: Az egyik esetben 4 (bal oldali ábra), a másikban 3 egység lesz a szemközti oldal hossza.

Ti is ezt a két példát találtátok, mi nem tudjuk, hogy van-e még.

Egyre jobb kérdések (**)

Gondoltam egy számot 1-től 14-ig. Körönként választhattok egy számot szintén 1-től 14-ig. A második körtől kezdve elárulok annyit, hogy a választott szám közelebb van-e a gondolt számhoz, mint az előző körben választott. (Ha véletlenül a gondolt számra kérdeztek, akkor is csak annyit árulok el, hogy közelebb van, mint az előző választás.)

Határozzátok meg a gondolt számot! Próbáljátok meg minél kevesebb kérdéssel!

Online is ki tudjátok próbálni.

Megkaptuk az első pull request-et, köszönjük.

Megoldás

Sokféle módon el lehet indulni a feladatban. Természetes elindulás, hogy 1-től kezdve végigkérdezzük a számokat, ekkor egy ideig közelebb választ kapunk, ez egy idő után nincs közelebbre vált. A gondolt szám a váltásnál lesz. Ez 14 kérdés.

Javíthatunk ezen, ha nem egyesével, hanem kettesével vagy hármasával megyünk végig (és a váltás környékén tisztázzuk a kérdéses eseteket). Így 7 kérdéssel is lehet találni a gondolt számot.

A további javítás előtt gondoljuk meg, hogy minimum hány kérdésre van szükségünk. Az első kérdésben nem kapunk információt, minden további kérdésnél kétféle választ kaphatunk. Így lehetséges válaszsorozatok száma minden kérdésnél megduplázódik. Vagyis minimum 5 (1+4) kérdés szükséges, hiszen ekkor 16 különböző válaszsorozat érkezhet, amely már elvileg elegendő a 14 lehetséges szám megkülönböztetéshez.

Nézzük meg, hogy 5 kérdéssel ki tudjuk-e találni a gondolt számot. Az alsó becslés alapján érdemes megpróbálkozni azzal, hogy felezzük a gondolt szám potenciális helyeit. Kezdjünk például a 7-tel és a 8-cal. Ez valóban be is fejezhető, ennek a – kicsit pepecselős – részleteit mutatja a következő ábra. Az ábrán aláhúzással jelöltük a potenciális gondolt számok lehetséges halmazát. A kék számok jelzik azt, hogy mi volt az aktuális és az azt megelőző körben választott számunk (az ötödik kör meggondolását a kedves Olvasóra bízzuk).

Ezzel megoldottuk a feladatot, hiszen korábban beláttuk, hogy 4 kérdés semmiképpen sem elég.

A konkrét eset kijött, valami hiányérzet maradhat bennük. Mi a helyzet általában? 15 számhoz is elég 5 kérdés? És 16-hoz? Általában meg tudjuk mondani, hogy n kérdés meddig elég? Ezekre a kérdésekre egyelőre nem tudunk pontosan válaszolni, ha van kedvetek, gondolkozzatok rajta. Elképzelhető, hogy a megoldás nem olyan szép.

Ha úgy módosítunk a feladat feltételein, hogy a kérdezett szám az intervallumon kívül is lehet (tehát lehet például -2-t is kérdezni), akkor létezik szép válasz.

Leave a comment

Subscribe now

Tarkal papa kendője (*)

Tarkal papa 4 lányunokájának szeretne pöttyös selyemkendőt varrni. Tudja, hogy a hagyományos kendő szabásmintája egyenlő szárú derékszögű háromszög alakú, és minden unokának más méret kell. A méteráruboltból hazaérve azonban döbbenten veszi észre, hogy félreértették, és egyetlen nagy négyszög alakú anyagot kapott. Rövid gondolkodás után a fejére csap, hiszen rájön, hogy fel tudja vágni az anyagot úgy, hogy mind a négy kendő kijöjjön belőle, és még csak nem is kell belőle semmit kidobni!

Hogyan nézhetett ki az anyag, amit Tarkal papa hazavitt?

Válasz beküldése

(Más szóval: Mutassatok olyan négyszöget, amelyet 4 különböző méretű egyenlő szárú derékszögű háromszögre lehet bontani. A beküldendő kérdés a négyszög legrövidebb, egységhosszú oldalával szemközti oldal hossza, de természetesen ábrának is örülünk.)

Egyre jobb kérdések (**)

Gondoltam egy számot 1-től 14-ig. Körönként választhattok egy számot szintén 1-től 14-ig. A második körtől kezdve elárulok annyit, hogy a választott szám közelebb van-e a gondolt számhoz, mint az előző körben választott. (Ha véletlenül a gondolt számra kérdeztek, akkor is csak annyit árulok el, hogy közelebb van, mint az előző választás.)

Határozzátok meg a gondolt számot! Próbáljátok meg minél kevesebb kérdéssel!

Online is ki tudjátok próbálni.

Válasz beküldése

Nem szomszédos számok

Írjatok minden mezőbe egy számot úgy, hogy egy N nagyságú régióban 1-től N-ig minden szám pontosan egyszer szerepeljen. Ezenkívül két azonos szám ne érintse egymást még átlósan sem.

Megoldás

Az 1 nagyságú részekbe a szabály szerint beírható az 1-es. Innen kiindulva még néhány szám beírható:

A felső sorban a 3-as mellé jön még az 1-es és 2-es, így az ez alatt lévő két mezőbe nem jöhet se 1-es, se 2-es. Így abba a régióba már egyértelműen beírható az 1-es, majd onnan a többi is:

Ezek után a 2-esek közül írható be néhány darab:

Most a hármasokból tudunk néhányat beírni, onnan pedig már könnyen befejezhető a kitöltés:

Ez alapján a kérdésre a válasz: 1, 4, 2, 4, 1.

Themisz-parton (*)

A Themisz-folyó egyik partján igazmondók, a másikon hazugok élnek. Prof. Dialektosz, a neves néprajzkutató, egyik útja során beszélgetett hat helybélivel, akik egy szabályos hatszög csúcsaiban laknak. Feljegyezte, mit mondtak, ám sajnos elfelejtette, melyik oldalon vannak az igazmondók és melyiken a hazugok. Sőt, még azt sem találja a jegyzeteiben, hogy pontosan hol szeli át a hatszöget a folyó egyenes szakasza.

Az anonimitás jegyében A, B, C, D, E, F betűkkel jelölte a lakókat, akik ilyen sorrendben laknak a hatszög szomszédos csúcsaiban. Ők a következőket állították:

• A: D és E nem egy oldalon élnek.

• B: F-fel ugyanazon az oldalon lakom.

• C: F hazug.

• D: B-vel ugyanazon az oldalon lakom.

Segíts kitalálni Prof. Dialektosznak, hogy ki mond igazat és ki hazudik!

Megoldás

Vegyük észre, hogy B nem lehet hazug, hiszen D akár igazat mond, akár hazudik, az ő állítása alapján B mindenképpen igazmondó. Ugyanez vonatkozik F-re is B állítása alapján. Viszont ebből következik, hogy C biztosan hazug, így tehát a folyó áthalad a hatszög B és C közötti oldalán.

Mivel a folyó egyenes, A mindenképpen igazmondó, ő pedig azt állítja, hogy D és E a folyó különböző oldalán laknak. Ismét kihasználjuk, hogy a folyó egyenes, és ezzel megtaláljuk az egyetlen megoldást:

Tehát A, B, E, F az igazmondók.

Leave a comment

Szerettünk volna valamit „adni” az öregdiákjainknak a támogatásért cserébe – ez volt a minden·ki·jön projekt apropója. Aztán arra gondoltunk, hogy ha szervezünk nekik egy programot, akkor jöhessen mindenki. A támogatói kampány már zajlik, ennek részleteit linkeljük is. Amennyiben valakinek (nem csak öregdiákoknak) van lehetősége, és szívesen támogatja az Alapítvány programjait, azt ezúton is nagyon köszönjük.

Természetesen érkeznek a feladatok is, jelezzük, hogy ezen a héten pénteken nem fogunk levelet küldeni, Magyarországon ez munkaszüneti nap.

Subscribe now

Nem szomszédos számok

Írjatok minden mezőbe egy számot úgy, hogy egy N nagyságú régióban 1-től N-ig minden szám pontosan egyszer szerepeljen. Ezenkívül két azonos szám ne érintse egymást még átlósan sem.

Válasz beküldése

Themisz-parton (*)

A Themisz-folyó egyik partján igazmondók, a másikon hazugok élnek. Prof. Dialektosz, a neves néprajzkutató, egyik útja során beszélgetett hat helybélivel, akik egy szabályos hatszög csúcsaiban laknak. Feljegyezte, mit mondtak, ám sajnos elfelejtette, melyik oldalon vannak az igazmondók és melyiken a hazugok. Sőt, még azt sem találja a jegyzeteiben, hogy pontosan hol szeli át a hatszöget a folyó egyenes szakasza.

Az anonimitás jegyében A, B, C, D, E, F betűkkel jelölte a lakókat, akik ilyen sorrendben laknak a hatszög szomszédos csúcsaiban. Ők a következőket állították:

• A: D és E nem egy oldalon élnek.

• B: F-fel ugyanazon az oldalon lakom.

• C: F hazug.

• D: B-vel ugyanazon az oldalon lakom.

Segíts kitalálni Prof. Dialektosznak, hogy ki mond igazat és ki hazudik!

Válasz beküldése

A bőrönd zárja, avagy a magáról árulkodó szám

Szuperbiztonságos bőröndömet tízjegyű számzárral látták el. 0-tól 9-ig állíthatom minden számát. Boldogan vittem haza a boltból, de hamarosan eszembe jutott, hogy a szupertitkos számomat majd meg is kellene jegyeznem anélkül, hogy felírnám valahova. Remek ötletem támadt. Úgy állítom be a nyitó kódot, hogy a számsor árulkodjon magáról:

Az első szám azt árulja el, hogy hány 0 van a számsorban, a második azt, hogy hány 1-es, a harmadik, hogy hány 2-es, … a tizedik, hogy hány 9-es. Ezt biztosan nem felejtem el, csak el ne áruljam senkinek.

Mi lehet a záram kódja?

Andi csatlakozó kérdése: Andi azt mondja, ő biztosan nem bíbelődne a reptéren egy tíz hosszú számsorral, így felmerült benne, hogy melyik a legkisebb magáról árulkodó szám. Szerinted melyik?

Megoldás

Segítségünkre lesz a megoldás során, hogy a keresett számok összege tíz kell, hogy legyen. Vajon miért? Mert a számok azt mutatják, hogy nullától kilencig melyik szám hányszor szerepel benne, vagyis a tíz hely valamelyikén.

Közelítsünk a megoldáshoz a nullák számán keresztül!

9 nulla nem lehet, mert ebben az esetben kellene egy kilences is, és már csak nyolc hely maradt a nulláknak, illetve egyesből is van már, tehát az egyesek száma sem lehetne nulla.

8 nulla esetén lesz egy nyolcas is (2 nem lehet), de akkor az egyesek száma sem nulla, így a nulláknak biztosan nem marad 8 hely. Másfelől egyesekre már csak egy darabra lenne lehetőség a tízes összegből, és ezt nem írhatnánk be, mert rögvest kettő lenne belőle.

Esetleg 7 nulla? A héten kívül még összesen három lehet az összeg. Kell egy hetes (kettő nem lehet), ezért kell egyes, ahova egyest nem írhatunk, vagyis kettő lesz. Van már kettesünk, tehát a kettesek száma nem nulla, de a számaink összege már tíz. Másfelől nem maradt hely 7 darab nullának.

6 nulla? Hasonlóképpen okoskodva:

Hurrá, megvan a kód! De várjunk csak… Lehet, hogy több ilyen szám is van?

Hasonlóan gondolkodva kideríthető, hogy nem létezik több ilyen tíz számból álló számsor.

Andi kérdése: A nullák száma nem lehet nulla, mert máris lenne egy. Próbálkozzunk egy nullával!

Egy darab egyesünk már van, így az egyesekhez nem írhatunk egyet, a legkisebb beírható a kettő. Az utolsó két jegyet már könnyedén megadhatjuk, így kaptunk egy négyjegyű számot.

2 (vagy több) nulla esetén sem kaphatunk ennél kisebb számot. Nagyobb számmal kezdődne, mint az imént megtalált, ezért legfeljebb háromjegyű lehetne. Azaz a kettő után két nulla következne, ami nem jó. Így Andi kérdésére a válasz:

Mire gondoltam?

Gondoltam egy számot 1-től 10-ig. Egy kérdésben választhattok egy számot, amiről elárulom, hogy közel van-e a gondolt számhoz. Mit jelent az, hogy közel van? Azt, hogy a két szám vagy megegyezik, vagy szomszédosak (azaz a különbségük maximum 1).

Találjátok ki a gondolt számot! Ha kitaláltátok, akkor próbáljátok meg minél kevesebb kérdéssel! (Online is ki tudjátok próbálni.)

Megoldás

Válasszunk ki egy x számot, és kérdezzük meg, hogy közel van-e a gondolt szám. Ha igen választ kapunk, akkor a gondolt szám három helyen lehet: x-1, x, x+1. Ha nincs további információnk, akkor innen két kérdéssel (x-1, x+1) meg is tudjuk határozni a gondolt számot.

Természetes stratégiának tűnik, hogy menjünk végig hármasával a számokon, azaz válasszuk ki a 2-t, az 5-öt és a 8-at. Ha valamelyiknél igen választ kapunk, akkor az előzőek szerint további két kérdéssel meg tudjuk határozni a gondolt számot. Ha mindhárom kérdésre nemet kapunk, akkor a gondolt szám csak a 10 lehet. Így 5 kérdés elegendő.

Szép és egyszerű a stratégia, talán ezért is meglepő, hogy elég ennél kevesebb kérdés. Javasoljuk, hogy ha nem oldottátok meg a feladatot 4 kérdéssel, akkor most álljatok meg az olvasásban és próbáljátok javítani a stratégiát.

A stratégia ugyanúgy kezdődik, mint az előbb, először a 2-t, majd az 5-öt választjuk. (Ha bármelyikre igent kapunk, akkor 3 vagy 4 kérdéssel be tudjuk fejezni.) A folytatásban módosítsunk, és a 8 helyett a 7-et kérdezzük. Ha erre igent kapunk, akkor a gondolt szám a 7 vagy a 8 lehet (hiszen a 6-ot az 5 korábbi megkérdezése kizárta). Ha nem választ kapunk, akkor a 9 és a 10 lehet a gondolt szám. Mindkét esetben két lehetséges szám maradt, ehhez elég egy-egy kérdés (a 9, illetve a 8). Tehát 4 kérdés biztosan elég. Azt is eláruljuk, hogy 3 kérdés nem elég.

A két stratégia között a harmadik kérdésnél van különbség. A 8-at kérdezve három új számról tudunk meg információt, a 7-et kérdezve csak kettőről. Ez a példa is mutatja, hogy nem éri meg mohónak lenni.

Leave a comment

Az elmúlt héten összesen 500-an küldtetek be megoldást, átlagosan 4 feladatra. Igyekszünk mindent feldolgozni, egyelőre még nem teljesen értünk a végére.

Subscribe now

A bőrönd zárja, avagy a magáról árulkodó szám

Szuperbiztonságos bőröndömet tízjegyű számzárral látták el. 0-tól 9-ig állíthatom minden számát. Boldogan vittem haza a boltból, de hamarosan eszembe jutott, hogy a szupertitkos számomat majd meg is kellene jegyeznem anélkül, hogy felírnám valahova. Remek ötletem támadt. Úgy állítom be a nyitó kódot, hogy a számsor árulkodjon magáról:

Az első szám azt árulja el, hogy hány 0 van a számsorban, a második azt, hogy hány 1-es, a harmadik, hogy hány 2-es, … a tizedik, hogy hány 9-es. Ezt biztosan nem felejtem el, csak el ne áruljam senkinek.

Mi lehet a záram kódja?

Andi csatlakozó kérdése: Andi azt mondja, ő biztosan nem bíbelődne a reptéren egy tíz hosszú számsorral, így felmerült benne, hogy melyik a legkisebb magáról árulkodó szám. Szerinted melyik?

Válasz beküldése

Mire gondoltam?

Gondoltam egy számot 1-től 10-ig. Egy kérdésben választhattok egy számot, amiről elárulom, hogy közel van-e a gondolt számhoz. Mit jelent az, hogy közel van? Azt, hogy a két szám vagy megegyezik, vagy szomszédosak (azaz a különbségük maximum 1).

Találjátok ki a gondolt számot! Ha kitaláltátok, akkor próbáljátok meg minél kevesebb kérdéssel! (Online is ki tudjátok próbálni.)

Válasz beküldése

Janus arcú légió

Az ókori Rómában Janus légiója 50 katonából állt, akik 10×5-ös téglalap alakban helyezkedtek el. Tudjuk, hogy a katonák mindegyike igazmondó vagy hazug volt. Egyszer mindegyikük a következő kijelentést tette: „Azok a társaim, akikkel egy sorban vagy egy oszlopban vagyok, azok mindegyike hazug.”

Hány igazmondó volt a légióban?

Megoldás

Egy sorban maximum egy igazmondó lehet, hiszen ha többen lennének, akkor nem mondanának igazat. Tehát maximum öt igazmondó lehet.

Ha egy hazug állít egy ilyen mondatot, akkor kell találnunk legalább egy igazmondót vele egy sorban vagy oszlopban. Ezt meggondolva azt is látjuk, hogy minden sorban lennie kell igazmondónak. Hiszen, ha lenne egy csupa hazug sor, akkor ennek a sornak és egy csupa hazug oszlopnak a metszetében lévő ember hazug lenne, ezért ő nem mondhatná el a fenti mondatot. Csupa hazug oszlopnak biztosan lennie kell, hiszen 10 oszlop van, és maximum 5 igazmondó.

Tehát az igazmondók száma sem több, sem kevesebb nem lehet 5-nél. Erre tudunk példát is mutatni, naranccsal jelölve az igazmondókat. Annak meggondolását az Olvasóra bízzuk, hogy ebben a konstrukcióban mindenki valóban elmondhatta a feladatban szereplő állítást.

Szaloncukrok (**)

Az iskolai karácsonyi ünnepségre a szülők 100 szaloncukrot küldtek a gyerekeknek egy nagy zsákban. Azonban azt nem árulták el a diákoknak, hogy hány különböző ízesítésű cukrot vettek. Annyit viszont elmondtak, hogy minden típusból ugyanannyit küldtek. Legkevesebb hány szaloncukrot kell elfogyasztaniuk a diákoknak ahhoz, hogy biztosan (szerencse nélkül) meg tudják mondani, hogy hány különböző ízesítésű (típusú) szaloncukor van a zsákban?

Megoldás

Érdemes úgy gondolkozni a feladaton, hogy ha minél tovább szeretnénk eltitkolni a különböző ízesítések számát, akkor hogyan kellene adni a gyereknek a szaloncukrokat.

Nézzünk először egy egyszerűbb példát, legyen most csak 12 szaloncukor. Az első 5 szaloncukor ízesítése: 1, 1, 1, 2, 3. (Az egyszerűség kedvéért számozzuk meg az ízeket.) Meg lehet-e ebből mondani, hogy hány különböző van? Sajnos még nem, mert lehet, hogy csak ez a 3 íz van, mindegyikben 4 cukorral, de az is lehetséges, hogy 4 íz van és mindegyikből 3 cukor.

Mi a helyzet akkor, ha az első 5 cukor mind különböző ízesítésű? Sajnos még akkor sem tudjuk megmondani, mert az is lehet, hogy 6 különböző íz van, 2-2 cukor mindegyikből, de az is lehet, hogy 12 különböző ízű cukor van a zsákban. De az nem lehet, hogy 5 különböző íz van csak, mert akkor nem lehetne mindegyikből ugyanannyi, hiszen 12 nem osztható 5-tel.

Térjünk vissza az eredeti feladathoz. Elképzelhető, hogy a gyerekek már megettek 80 szaloncukrot, és még mindig nem derült ki az igazság. Ha 4 különböző ízből pontosan 20 darab cukrot kaptak, akkor még mindig két lehetőség van:

1. Lehet, hogy összesen 4 íz van, mindből 25-25 darab.

2. De az is lehet, hogy 5 különböző íz van, és a zsákban még éppen 20 darab van egy olyan ízből, amiből eddig még nem is ettek.

Most jön a megoldás nehezebb része, amikor megmutatjuk, hogy 81 szaloncukor elfogyasztása után már biztosan ki tudjuk találni, hogy hány különböző ízesítés van.

Gondoljuk meg azt, hogy mikor lehet két különböző, 100 szaloncukorból álló zsákot összekeverni. Legyen az egyik esetben x, a másik esetben y íz (legyen x < y). Mivel minden ízből ugyanannyi cukor van, ezért x és y is osztója a 100-nak. Keressük meg, hogy ekkor mennyi az a legtöbb szaloncukor, ami kivehető a zsákból, úgy, hogy még ne tudjuk eldönteni, hogy x vagy y íz van. Tegyük a különböző ízeket, különböző dobozokba.

• Hány dobozt használhatunk? Maximum x-et, hiszen, ha ennél több lenne, akkor x-nél több íz lenne a zsákban.

• Egy dobozba hány cukrot tehetünk? Maximum 100/y-t, hiszen ha egy dobozba ennél több cukor jutna, akkor az azt jelentené, hogy y-nál kevesebb íz van.

A két megfigyelés együtt azt mutatja, hogy maximum x · 100/y cukrot vehetünk ki úgy, hogy még ne tudjuk eldönteni, hogy hány íz van, hiszen maximum x dobozt használhatunk, és egy dobozba maximum 100/y cukrot tehetünk.

Vagyis az x és y íz lehetőségét, akkor tudjuk összekeverni, ha maximum x · 100/y cukrot veszünk ki a zsákból. Ezt az értéket maximalizálni szeretnénk, tehát olyan osztókat keresünk, ahol az x/y érték a lehető legnagyobb. Ha x rögzített, akkor ez a hányados akkor maximális, ha y a lehető legkisebb (de még nagyobb x-nél), így elég csak szomszédos osztókat vizsgálnunk.

A 100 osztói: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. A szomszédosak hányadosa rendre: 1/2, 1/2, 4/5, 1/2, 1/2, 4/5, 1/2, 1/2. Ezek közül a legnagyobb a 4/5 és 4 · 100/5 = 80, ami a fenti gondolatmenet alapján már bizonyítja, hogy 81 elfogyasztott szaloncukor esetén már biztosan nem lehet kétség az ízek számát illetően.

(Mivel a 80 kétszer is szerepel a sorozatban, így 80 elfogyasztott szaloncukor esetén még két különböző esetben sem lehetünk biztosak az ízek számában. A fent már említett 4, illetve 5 íz esetének megkülönböztethetetlensége mellett a 20 és 25 íz megkülönböztetéséhez is 81 szaloncukorra van szükség.)

Megjegyzés: 100 szaloncukor esetén az derült ki, hogy a cukrok több mint 80%-át kell kivenni a zsákból. Tudtok olyan példát mutatni, ahol 99%-nál is többet kell kivennünk?

Leave a comment

Mérlegek mérlegen

• Szeretnénk az 1, 2, 3, 4, 5, 6 súlyok pontos tömegét egyetlen méréssel meghatározni. Egyszerre több mérleget is használhatunk, hogyan tehetjük ezt meg?

• Ha már mérleges feladat, van egy jópofa, amivel szoktam tesztelni a mesterséges intelligencia képességeit, ezen mindig elbukik.

  
  A+B+C=100

  A>2B

  3B>4C

  3C>A

  
  Mi lehet A, B, C, ha tudjuk, hogy mindegyik pozitív egész szám?

• Kicsit kényelmetlen ez az emailből olvassuk, google formon beküldjük formátum. Kétségkívül egyszerű így implementálni, de hiányzik valami scratchpad ahhoz, hogy random helyeken, papír ceruza nélkül nekiálljak. Áruljatok Gondolkodás örömés kisfüzetet meg ceruzát hozzá, szerintem sokan rendelnének csak erre a célra :)

  • SzG: A google formos megoldásnak mi is sok hátrányát látjuk, egyelőre nem találtunk jobbat.

Hajtogatás

• Első ránézésre arra gondoltam, mi lehet ebben annyira nehéz, hiszen csak hajtogatni kell. Aztán megértettem a két csillagot :). Néhány csatlakozó kérdés:

  
  1a) Hányféleképp lehet összehajtogatni egy 8 egység hosszú papírcsíkot a szaggatott vonalak mentén?
  1b) Mi a helyzet n hosszú csík esetében?

  
  2a) Írjunk minél gyorsabb algoritmust annak eldöntésére, hogy egy n hosszú csík -- amelynek néhány mezőjén már szerepel szám --, összehajtogatható-e oly módon, hogy a számozott mezők a nekik megfelelő szintekre kerüljenek!
  

• Hajtogattam egy unalmas meeting helyett :)

• Hasonló a hajtogatáshoz a kanyargó folyó, erről beszélt Hajnal Péter a 2010-es Vándorgyűlésen. Érdekes feladatok vannak a sorbaállításokban: Vándorgyűlés (2010), Meander.

Madagaszkári érmék

• Nagyon élveztem ezt a feladatot. Hogy terveztétek meg, hogy megoldható legyen, de izgalmas? / I'm also curious how you would go about making a puzzle like this, particularly with exactly one solution.

  • Nagy Kartal válasza: „Kezdésnek azt a trükköt próbáltam összehozni, hogy legyen egy oszlop, aminek könnyen kitalálható a felbontása, de ezt az értéket nem adjuk meg. Ezután sorokba olyan összegeket próbáltam keresni, aminek a felbontása a harmadik oszlopban írt 1-es nélkül nem meghatározható, azzal együtt viszont már csak egyféle lehet a felírás. Ekkor a számok halmaza megvolt, és még az oszlopokhoz kellett olyan értékeket kitalálni, hogy ahhoz a megadott számokból egyértelmű legyen a felbontás. Itt ezzel az utolsó lépéssel kellett egy kicsit játszani, hogy kijöjjön, de főképp azért, mert olyan értékeket akartam keresni az oszlopokhoz, aminek a felbontása amúgy nem lenne egyértelmű.”

Szaloncukrok

• Nem akartam elhinni, hogy ez a feladat nehéz, és 51-t válaszoltam volna könnyelműen a metrón utazva és gondolkodva a feladaton. De szokás szerint megkérdeztem a 4 AI-t. Grok3 és ChatGpt o3 mini-high szintén 51-t mondott, a Gemini 2.5 Pro hamar 81-t mondott, elsőre megdöbbentem, aztán aha!

• Eddig ez volt a leggondolkodósabb feladat… És mielőtt nyomtam volna a küldés gombot beugrott valami… Na, ez az! Meg is van! :-)
  

  A Janusos feladat segített. A téglalapok a közös pont! Így már sokkal jobban átlátom. Direkt volt előtte vagy csak véletlenül?

  Szóval a szomszédos felbontásokat reprezentáló téglalapok átfedései segítettek átlátni utólag még jobban.

  • SzG: Ez az egybeesés véletlen. Ha újra lenne ilyen projektet, akkor jó lenne, ha több kapcsolat lenne a feladatok között.

• Lehet, hogy csak én szoktam el az ilyen feladatok szövegezésétől, de ezt félreértettem, azt a kérdést válaszoltam meg, hogy (szerencsés esetben) hány szaloncukor elfogyasztása után lehetnek biztosak a fajták számában. Ez nyilván egy jóval kisebb szám. Szóval a legjobb / legrosszabb eset ellentétes végét ostromoltam. Ezt esetleg lehetne pontosítani.

  A válasz amúgy 11, mert ha már 6 különböző ízesítésűt találtunk akkor legalább 10 féle íz van, és ha valamelyikből 6-ot találtunk akkor legalább 10 van mindegyikből.

Vegyes

• Szuper, hogy másnap van megoldás, mert volt olyan, ahol elakadtam, de a megoldás első sora elindított. Remélem, tévedni is ér, például ennél a feladatnál is lehet, hogy van kevesebb lépéses megoldás is.

  • SzG: Abszolút ér tévedni.

• DZ: A feladat szövegének kitalálásakor igyekszünk a valóságból meríteni példákat, bár nem gondoltuk volna, hogy ez ilyen jól sikerült, mint az áramszünetesnél:

  • Az utóbbi időben nálunk sokszor elveszik az áramot. Az én digitális órám, bármi hihetetlen, de egy ilyen alkalommal, miután újra elindult, óránként 10 percet késett.

Leave a comment